Đáp án: $(a;b;c)=(2;2;3)$
Giải thích các bước giải:
Đặt $A=a^{c-b}+c;B=c^a+b$
Để $A$ là số nguyên tố
$⇒a^{c-b}+c∈N$
$⇒a^{c-b}∈N$
$⇒c-b>0⇒c>b⇒c>2$
Do $a;b;c$ là các số nguyên tố
$⇒B=c^a+b≥2^2+2=6$
Để $B$ là số nguyên tố
$⇒B$ là số lẻ
$⇒c^a$ hoặc $b$ lẻ
Nếu $b$ lẻ $⇒c^a$ chẵn $⇒c$ chẵn
Mà $c$ là số chẵn $⇒c=2$ (loại)
$⇒b$ chẵn $⇒b=2$
$⇒c^a$ lẻ $⇒c$ lẻ
Đê $A$ là số nguyên tố
$⇒a^{c-b}$ chẵn
$⇒a$ chẵn
Mà $a$ là số nguyên tố $⇒a=2$
Khi đó: $B=c^2+2$
Do $c$ là số nguyên tố lớn hơn 2 nên xét $3$ trường hợp:
-Nếu $c=3⇒B=3^2+2=11$ là số nguyên tố
Và $A=2^{3-2}+3=5$ là số nguyên tố
-Nếu $c$ chia $3$ dư $1⇒c=3k+1(k∈N)$
$⇒B=c^2+2=(3k+1)^2+2$
$=(3k+1)(3k+1)+2=9k^2+3k+3k+1+2$
$=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)\vdots 3$
Mà $B>3$
$⇒B$ có ít nhất $3$ ước: $1;3;B$
$⇒B$ là hợp số (loại)
-Nếu $c$ chia $3$ dư $2⇒c=3k+2(k∈N)$
$⇒B=c^2+2=(3k+2)^2+2$
$=(3k+2)(3k+2)+2=9k^2+6k+6k+4+2$
$=9k^2+12k+6=3(3k^2+4k+2)\vdots 3$
Mà $B>3$
$⇒B$ có ít nhất $3$ ước: $1;3;B$
$⇒B$ là hợp số (loại)
Vậy $a=2;b=2;c=3$
