Đáp án:
$B.7$
Giải thích các bước giải:
$g'(x) = \Big( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2\Big).f'(\sqrt{x^2+1}-2x)$
Giải phương trình $g'(x) =0$
$\to \left[ \begin{array}{l}f'(\sqrt{x^2+1}-2x)=0\\\dfrac {x} {\sqrt{x^2+1}}=2\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x^2=4.(x^2+1)\to \text{vô nghiệm}$
$*$
$f' (\sqrt{x^2+1}-2x)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x^2+1}-2x=-1(1)\\\sqrt{x^2+1}-2x=1(2) \end{array} \right.$
Ta có : $(1):\sqrt{x^2+1}=2x-1 \Big(x>\dfrac{1}{2}\Big)$
$\Leftrightarrow x^2+1=4x^2-4x+1$
$\Leftrightarrow 3x^2-4x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\dfrac{4}{3} (\text{loại}) \end{array} \right.$
$(2): \sqrt{x^2+1} =1+2x \Big(x>\dfrac{-1}{2}\Big)$
$\Leftrightarrow x^2+1=4x^2+4x+1$
$\Leftrightarrow 3x^2+4x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\dfrac{-4}{3} (\text{loại}) \end{array} \right.$
BBT :
$\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & 0 & & \dfrac{4}{3} & & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline & & & & & & & & & \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ y & & & & & & & & & \end{array}$
Vậy cực đại $g\Big(\dfrac{4}{3}\Big)=f(-1)=7$
