Đáp án:
GTLN của $H$ là $0\Leftrightarrow (x;y)= (-4;-6)$ hoặc $(x;y)=(4;6)$
Giải thích các bước giải:
$\quad H = (3x-2y)^2 - (4y-6x)^2 - |xy - 24|$
$\to H = (3x - 2y - 4y + 6x)(3x - 2y + 4y - 6x) - |xy -24|$
$\to H = (9x-6y)(-3x + 2y) - |xy -24|$
$\to H = -3(3x -2y)^2 - |xy - 24|$
Ta có:
$\quad \begin{cases}(3x - 2y)^2 \geqslant 0\quad \forall x,y\\|xy - 24|\geqslant 0\quad \forall x,y\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} - 3(3x - 2y)^2\leqslant 0\\- |xy - 24|\leqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow -3(3x -2y)^2 - |xy - 24| \leqslant 0$
Hay $H \leqslant 0$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}3x - 2y = 0\\xy - 24 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\3xy = 72\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\2y^2 = 72\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\y = \pm 6\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 4\\y = 6\end{cases}\\\begin{cases}x = -4\\y = -6\end{cases}\end{array}\right.$
Vậy GTLN của $H$ là $0\Leftrightarrow (x;y)= (-4;-6)$ hoặc $(x;y)=(4;6)$
