Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Điều kiện \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 9 + 25}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}\\ = \sqrt x - 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6.\end{array}\)
Với mọi \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:\(\sqrt x + 3;\,\,\,\frac{{25}}{{\sqrt {x + 3} }}\) là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x + 3;\,\,\,\frac{{25}}{{\sqrt {x + 3} }}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right).\frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}} = 2\sqrt {25} = 10\\ \Rightarrow P = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 10 - 6 = 4.\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = 5\,\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(Min\,\,P = 4\) khi \(x = 4.\)
Chọn D.
