Ta có
$y = \dfrac{4x^4 + 16x^3 + 56x^2 + 80x + 356}{x^2 + 2x +5}$
$= \dfrac{4x^2(x^2 + 2x + 5) + 8x(x^2 +2x + 5)+ 20(x^2 + 2x + 5) + 256}{x^2 + 2x +5}$
$= \dfrac{(4x^2 + 8x + 20)(x^2 + 2x + 5) + 256}{x^2 + 2x + 5}$
$= \dfrac{4(x^2 + 2x + 5)^2 + 256}{x^2 + 2x + 5}$
$= 4(x^2 + 2x + 5) + \dfrac{256}{x^2 + 2x + 5}$
Ta có $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$. Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy ta có
$4(x^2 + 2x + 5) + \dfrac{256}{x^2 + 2x + 5} \geq 2\sqrt{4(x^2 + 2x + 5) . \dfrac{256}{x^2 + 2x + 5}} = 64$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $4(x^2 + 2x + 5) = \dfrac{256}{x^2 + 2x + 5}$
Suy ra
$(x^2 + 2x + 5)^2 = 64$
$<-> x^2 + 2x + 5 = 8$
$<-> x^2 + 2x -3 = 0$
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -3$.
Vậy GTNN là 64, đạt được khi $x = 1$ hoặc $x = -3$.
