Đáp án:
$\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\quad \dfrac1x +\dfrac1y \geq \dfrac{(1+1)^2}{x+y}$
$\to A \geq \dfrac{4}{x+y}$
Ta lại có:
$\quad (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)\qquad (Bunyakovsky)$
$\to (x+y)^2 \leq 2.4 = 8$
$\to x + y \leq 2\sqrt2$
$\to \dfrac{4}{x+y}\geq \dfrac{4}{2\sqrt2}$
$\to A \geq \sqrt2$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x = y\\x^2 + y^2 = 4\end{cases}\Leftrightarrow x = y = \sqrt2$
Vậy $\min A =\sqrt2 \Leftrightarrow x = y =\sqrt2$
