Đáp án:
Không có giá trị nhỏ nhất của P khi $x>1$
Lời giải:
Giả sử $m$ là GTNN của $P$ ứng với giá trị $x = x_0$. Khi đó ta có
$m = x_0 + \dfrac{1}{x_0}$
$\Leftrightarrow x_0^2 - mx_0 + 1 = 0$
Do phương trình trên có nghiệm nên
$\Delta \geq 0$
$\Leftrightarrow m^2 - 4 \geq 0$
$\Leftrightarrow m \geq 2$ hoặc $m \leq -2$
Khi đó, ta có
$x_0 = \dfrac{m \pm \sqrt{m^2 - 4}}{2}$
Theo đề bài ta có
$x_0 > 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{m - \sqrt{m^2 - 4}}{2} > 1$
$\Leftrightarrow m - \sqrt{m^2 - 4} > 2$
$\Leftrightarrow m - 2 > \sqrt{m^2 - 4}$
$\Leftrightarrow m^2 - 4m + 4 > m^2 - 4$
$\Leftrightarrow m < 2$
Tuy nhiên, theo BĐT Cauchy ta có
$P = x + \dfrac{1}{x} \geq 2 . \sqrt{x . \dfrac{1}{x}} = 2$ (mâu thuẫn do $m < 2$).
Vậy $P$ không có GTNN.
