* Khi $m<0$: $mx^2+3mx+1\to -\infty$ khi $x\to \pm\infty$ nên ĐTHS không có TCN, do đó không thể có 3 tiệm cận. Loại
* Khi $m=0$: ĐTHS có 1 TCĐ, loại
* Khi $m>0$:
$\lim\limits_{x\to +\infty}y=\sqrt{m}$
$\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\sqrt{m}$
$\to$ ĐTHS có $2$ TCN
Để có 3 tiệm cận: ĐTHS có $1$ TCĐ
Đặt $u(x)=mx^2+3mx+1$
$\to u(-2)=1-2m$
• Nếu $u(-2)>0\to m<\dfrac{1}{2}$: TM TCĐ $x=-2$
• Nếu $u(-2)=0\to m=\dfrac{1}{2}$:
$u(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3x}{2}+1=\dfrac{1}{2}(x+1)(x+2)$, khi đó $y=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}(x+1)}}{\sqrt{x+2}}$, loại do $\dfrac{1}{2}(1-2)<0$
• Nếu $u(-2)<0\to m>\dfrac{1}{2}$, loại
Vậy $0<m<\dfrac{1}{2}$
