Đáp án:
\(m = \dfrac{{2 - 4\sqrt 2 }}{7}\)
Giải thích các bước giải:
\(y' = 3m{x^2} + 6x + 3m - 3\)
Xét:
\(\begin{array}{l}
y' = 0\\
\to 3m{x^2} + 6x + 3m - 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Do hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(\sqrt 3 \)
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
3m < 0\\
9 - 3m.\left( {3m - 3} \right) > 0\\
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
9 - 9{m^2} + 9m > 0\\
{x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m \in \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 4{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
{\left( { - \dfrac{6}{{3m}}} \right)^2} - 4.\dfrac{{3m - 3}}{{3m}} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
\dfrac{4}{{{m^2}}} - \dfrac{{4m - 4}}{m} = 3\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to \dfrac{{4 - 4{m^2} + 4m - 3{m^2}}}{{{m^2}}} = 0\\
\to - 7{m^2} + 4m + 4 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{2 + 4\sqrt 2 }}{7}\left( l \right)\\
m = \dfrac{{2 - 4\sqrt 2 }}{7}\left( {TM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
