Đáp án: `h_{max}=\sqrt{13}⇔m=\frac{3}{2}`
Giải thích các bước giải:
Gọi $h$ là độ dài khoảng cách từ $N$ đến $(d)$
Xét $2$ trường hợp:
-Trường hợp $1:m=0$
$⇒(d)x=0$
$⇒(d)≡Oy$
Khi đó: $h=|2|=2$
-Trường hợp $2:,m\neq0$
Khi đó: `(d)y=-\frac{1}{m}x+2`
Gọi $S(x_0;y_0)$ là điểm mà $(d)$ luôn đi qua với mọi $m\neq0$
`⇔y_0=-\frac{x_0}{m}+2 ∀m\ne0`
`⇔2-y_0=\frac{x_0}{m} ∀m\ne0`
$⇔\large \left \{ {{2-y_0=0} \atop {x_0=0}} \right.⇔\large \left \{ {{y_0=2} \atop {x_0=0}} \right.$
$⇒S(0;2)$ là điểm cố định
Ta có: $h≤NS=\sqrt{(2-0)^2+(5-2)^2}=\sqrt{13}$
Dấu bằng xảy ra $⇔NS⊥(d)$
Gọi phương trình đường thẳng $NS$ có dạng $y=ax+b$
Ta có:
$\large \left \{ {{N∈NS} \atop {S∈NS}} \right.⇔\large \left \{ {{5=2a+b} \atop {2=0a+b}} \right.⇔\large \left \{ {{a=1,5} \atop {2=b}} \right.$
$⇒(NS)y=1,5x+2$
Ta có: `NS⊥(d)⇔1,5.\frac{-1}{m}=-1⇔m=\frac{3}{2}`
So sánh $2$ trường hợp, ta được: `h_{max}=\sqrt{13}⇔m=\frac{3}{2}`
