Xét phương trình hoành độ của (p) và (d):
\(x^2=mx-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+2=0\left(1\right)\)
Xét phương trình (1) có:
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4.1.2\)
= \(m^2-8\)
Để (p) cắt (d) tại 2 điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m^2-8>0\Leftrightarrow\left(m-2\sqrt{2}\right)\left(m+2\sqrt{2}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-2\sqrt{2}>0\\m+2\sqrt{2}>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-2\sqrt{2}< 0\\m+2\sqrt{2}< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>2\sqrt{2}\\m>-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 2\sqrt{2}\\m< -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\sqrt{2}\\m< -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy để (p) cắt (d) tại 2 điểm thì \(m>2\sqrt{2}\) hoặc \(m< -2\sqrt{2}\)
Xét phương trình (1), áp dụng công thức nghiệm ta có:
\(x_A=\dfrac{m+\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_A=\dfrac{\left(m+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)
\(x_B=\dfrac{m-\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_B=\dfrac{\left(m-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)
Theo đề bài ta có:
\(y_A+y_B=2\left(x_A+x_B\right)-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+\sqrt{\Delta}\right)^2+\left(m-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}=2\left(\dfrac{m+\sqrt{\Delta}+m-\sqrt{\Delta}}{2}\right)-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2+2\Delta}{4}=2m-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+\Delta}{2}=2m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2+\Delta-4m+2=0\) (2)
Thay \(\Delta=m^2-8\) vào phương trình (2) ta được:
\(m^2+m^2-8-4m+2=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\left(tm\right)\\m=-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy với m=3 thì (p) cắt (d) tại 2 điểm \(A_{\left(x_A;y_A\right)},B_{\left(x_B;y_B\right)}\) thỏa mãn
\(y_A+y_B=2\left(x_A+x_B\right)-1\)
