Đáp án:
$ Min = 2(\sqrt[]{2} - 1)$ khi $x = 0$
$ Max = 2$ khi $x = ± 2$
Giải thích các bước giải: Điều kiện $ - 2 ≤ x ≤ 2$
Đặt $ y = \sqrt[]{2 + x} + \sqrt[]{2 - x} - \sqrt[]{4 - x²} (*)$
$ t = \sqrt[]{2 + x} + \sqrt[]{2 - x} > 0$
$ t² = (\sqrt[]{2 + x} + \sqrt[]{2 - x})² = 4 + 2\sqrt[]{4 - x²} ≥ 4 (**)$
$ ⇒ t ≥ 2 ⇒ t_{min} = 2 ⇔ 4 - x² = 0 ⇔ x = ± 2 (1)$
$ t² = (\sqrt[]{2 + x} + \sqrt[]{2 - x})² ≤ 2[(\sqrt[]{2 + x})² + (\sqrt[]{2 - x})²] = 8$
$⇔ t ≤ 2\sqrt[]{2} ⇒ t_{max} = 2\sqrt[]{2} ⇔ 2 + x = 2 - x ⇔ x = 0 (2)$
Từ $ (**) ⇒ \sqrt[]{4 - x²} = \frac{1}{2}(t²- 4)$ thay vào $(*)$
$y = t - \frac{1}{2}(t²- 4) = \frac{1}{2}[5 - (t - 1)²] (3)$
Từ $(1); (2); (3)$ suy ra:
Khi $ t = t_{min} = 2 ⇒ y = y_{max} = \frac{1}{2}[5 - (2 - 1)²] = 2$
Khi $ t = t_{max} = 2\sqrt[]{2} ⇒ y = y_{min} = \frac{1}{2}[ 5 - (2\sqrt[]{2} - 1)²]= 2(\sqrt[]{2} - 1)$
