$\begin{array}{l} \cos \left( {\pi \left( {{x^2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \right)} \right) = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\pi \left( {{x^2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \right)} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \pi {x^2}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \pi \left( {{x^2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2} - \pi {x^2} + k2\pi \\ \pi \left( {{x^2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \right) = \pi {x^2} - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - {x^2} + 2k\\ {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = {x^2} - \dfrac{1}{2} + 2k \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2{x^2} + 2x - 1 = 2k\\ 2x = 2k \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\left( 1 \right)\\ 2{x^2} + 2x - \left( {2k + 1} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right. \end{array}$
$\begin{array}{l} \left( 1 \right)\text{nghiệm dương nhỏ nhất} \Leftrightarrow \,x = k = 0\,\left( * \right)\\ do\,k \in \mathbb{Z}\\ \left( 2 \right)\text{Phương trình có nghiệm } \Leftrightarrow \Delta'=1 + 2\left( {2k + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 2\left( {2k + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4k + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4k \ge - 3\\ \Rightarrow k \ge - \dfrac{3}{4} \Rightarrow k \ge 0\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}$
(2) có nghiệm dương nhỏ nhất khi $\Delta'$ nhỏ nhất. $\Delta'$ nhỏ nhất khi $k=0$
Vậy $x=k=0$ là nghiệm dương nhỏ nhất
