Đáp án:
(x;y) = (0;-5)
Giải thích các bước giải:
Ta có \( x^6 + 3x^4 +1 = x^6 + 2x^4 -125 + (x^4+ 3x^2 + 1260\) ⇒ \(x^6 + 2x^4 - 125 < x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1 = (x^2 +1)^3\) (1)
Xét x>3 , x∈N ta có:
\(x^6 + 2x^4 - 125 > x^6 +2.3^4 - 125 > x^6 = (x^2)^3\) (2)
từ (1) và (2) ta có
\((x^2)^3 < x^6 + 2x^4 - 125 < (x^2 +1)^3 \) ⇒ \( (x^2)^3 < y^3 < (x^2 +1)^3 \)
⇒ không tồn tại y thỏa mãn
⇒ x∈ {0;1;2;3}
+) Với x = 0 ⇒ \( y^3 = -125 ⇒ y = -5\) (TM)
+) Với x =1 ⇒\( y^3 = 1^6 + 2.1^4 -125 = -122\) ⇒y= $\sqrt[3]{-122}$ ( loại do y ∈ Z)
+) Với x = 2 ⇒ \( y^3 = -29\) ⇒ y= $\sqrt[3]{-29}$ ( loại do y ∈ Z)
+) Với x = 3 ⇒ \( y^3 = 766\) ⇒ y= $\sqrt[3]{766}$ ( loại do y ∈ Z)
Vậy (x;y) = (0;-5)
