Đáp án:
$+) \quad 3^{10}.2^{10} $
$+) \quad C_{10}^2.3^8.2^7$
$+) \quad C_{10}^4.3^6.2^4$
$+) \quad C_{10}^6.3^4.2$
Giải thích các bước giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(3\sqrt x + \dfrac{1}{\sqrt2}\right)^{10}$ có dạng:
$\quad \sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k(3\sqrt4)^{10-k}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^k\qquad (0\leq k \leq 10; \, k \in \Bbb N)$
$= \sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k.3^{10-k}.4^{\tfrac{10 -k}{2}}.2^{-\tfrac k2}$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k.3^{10-k}.2^{10 -k}.2^{-\tfrac k2}$
$= \sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k.3^{10-k}.2^{10 -\tfrac32k}$
Số hạng là số nguyên $\Leftrightarrow \begin{cases}10 - \dfrac32k \in \Bbb N\\0\leq k \leq 10\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}k\quad \vdots \quad 2\\k\in \Bbb N\\k \leq \dfrac{20}{3}\\0\leq k \leq 10\end{cases}$
$\Leftrightarrow 0 \leq 2m \leq 6\quad (m \in \Bbb N)$
$\Leftrightarrow 0 \leq m \leq 3$
$\Leftrightarrow m = \{0;1;2;3\}$
$\Leftrightarrow k = \{0;2;4;6\}$
Vậy các số hạng là số nguyên là:
$+) \quad C_{10}^0.3^{10}.2^{10} = 3^{10}.2^{10} $
$+) \quad C_{10}^2.3^8.2^7$
$+) \quad C_{10}^4.3^6.2^4$
$+) \quad C_{10}^6.3^4.2$
