Mình làm theo đề bài sau: Tìm số tự nhiên n sao cho `4n + 3` và `2n + 3` nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Gọi `d` là `ƯC(4n + 3, 2n + 3)` `(d ∈ NN`*)
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\2n + 3 \vdots d\end{array} \right.$
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\2(2n + 3) \vdots d\end{array} \right.$
`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}4n + 3 \vdots d\\4n + 6 \vdots d\end{array} \right.$
`⇒ (4n + 6) - (4n + 3) \vdots d`
`⇒ 4n + 6 - 4n - 3 \vdots d`
`⇒ 3 \vdots d` `(d ∈ NN`*)
`⇒ d ∈ { 1 ; 3 }`
Để `4n + 3` và `2n + 3` nguyên tố cùng nhau `⇔ d` $\neq$ `3`
`⇒ 4n + 3` $\not\vdots$ `3`
`⇒ 4n + 3 - 3` $\not\vdots$ `3`
`⇒ 4n` $\not\vdots$ `3`
`⇒ n` $\not\vdots$ `3` `⇒ n` $\neq$ `3k`.
Tương tự với `2n + 3`.
Vậy để `(4n + 3, 2n + 3) = 1` thì `n` $\neq$ `3k`.
