Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:\(C = \frac{{2n + 2}}{{n + 2}} + \frac{{5n + 17}}{{n + 2}} - \frac{{3n}}{{n + 2}}\)\( = \frac{{\left( {2n + 2} \right) + \left( {5n + 17} \right) - 3n}}{{n + 2}}\)
\(\,\,\,\,\, = \frac{{2n + 2 + 5n + 17 - 3n}}{{n + 2}}\)\(\, = \frac{{\left( {2n + 5n - 3n} \right) + \left( {2 + 17} \right)}}{{n + 2}}\)
\(\,\,\,\,\, = \frac{{4n + 19}}{{n + 2}}\)
Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có: \(n + 2 \ne 0 \Rightarrow C\) luôn xác định.
Phân số \(C = \frac{{4n + 19}}{{n + 2}}\) nhận giá trị là số tự nhiên khi:
\(\left. \begin{array}{l}4n + 19\,\, \vdots \,\,n + 2\\n + 2\,\, \vdots \,\,n + 2\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}4n + 19\,\, \vdots \,\,n + 2\\4\left( {n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,n + 2\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \left( {4n + 19} \right) - 4\left( {n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,n + 2\)
\( \Rightarrow \left( {4n + 19} \right) - \left( {4n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,n + 2\)
\( \Rightarrow 4n + 19 - 4n - 8\,\, \vdots \,\,n + 2\)
\( \Rightarrow \left( {4n - 4n} \right) + \left( {19 - 8} \right)\,\, \vdots \,\,n + 2\)
\( \Rightarrow 11\,\, \vdots \,\,n + 2\)
\( \Rightarrow n + 2 \in U\left( {11} \right) = \left\{ {1;\,\,\,11} \right\}\)
Lại có: \(n\) là số tự nhiên.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow n + 2 = 11\\ \Rightarrow n = 11 - 2 = 9.\end{array}\)
Vậy với \(n = 9\) thì phân số \(C\) nhận giá trị là số tự nhiên.
Chọn D.
