2006n + 6019/ n +2 = 2006n + 4012 + 2007/ n +2

= (2006(n+2) + 2007) / n + 2

= 2006 + 2007/n+2

=> 2007 chia hết n +2

=> n + 2 thuộc Ư(2007) = {1,2007}

=> n thuộc {-1, 2005}

Vì n thuộc N nên n = 2005

Gọi d∈ƯC(2006n+6019 , n+2)

suy ra : 2006n+6019 chia hết cho d

và n+2 chia hết cho d

suy ra : 2006n+6019 chia hết cho d

và 2006.(n+2) chia hết cho d

suy ra : 2006n+6019 chia hết cho d

và 2006n+4012 chia hết cho d

suy ra : (2006n+6019)-(2006n+4012) chia hết cho d

suy ra 2007 chia hết cho d

=) d ∈ Ư (2007)

Để Phân số 2006n+6019/n+2 rút gọn được thì cả tử và mẫu phải chia hết cho 1 trong các ước nguyên tố của 2007

- 2007 có ước nguyên tố là 3 và 223

*Xét TH cả tử và mẫu chia hết cho 223

Loại vì cả tử và mẫu k chia hết

*Xét TH cả tử và mẫu chia hết cho 3

Loại vì cả tử và mẫu k chia hết

Vậy phân số đã cho k rút gọn được với mọi n là số tự nhiên hay ( phân số đó tối giản )