Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{4}^{x}}-{{3.2}^{x+1}}+m=0\) có hai nghiệm thực \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}<2.\) A.\(0<m<2\) B.\(m>0\) C.\(0<m<4\) D. \(m<9\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Cách giải: \(\begin{align}& Pt\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{3.2.2}^{x}}+m=0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{2}^{2x}}-{{6.2}^{x}}+m=0.\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{align}\) Đặt \(t={{2}^{x}}\,\,\left( t>0 \right).\) Khi đó: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+m=0\,\,\,\,\left( 2 \right).\) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\3 > 0\,\,\,\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 9.\)
Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}={{\log }_{2}}{{t}_{1}};\,\,\,{{x}_{2}}={{\log }_{2}}{{t}_{2}}.\) \(\begin{align}& \Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{t}_{1}}+{{\log }_{2}}{{t}_{2}}<2 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)<2 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{2}}m<2 \\ & \Leftrightarrow m<{{2}^{2}}\Leftrightarrow m<4. \\ \end{align}\) Kết hợp điều kiện ta có: \(0 Chọn C.