Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Xét phương trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\,\left( {a
e 0} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \(t > 0\) và 1 nghiệm \(t = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} = 0\end{array} \right..\)
Giải hệ phương trình trên tìm điều kiện của \(m.\)
Giải chi tiết:\({x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + {m^2} - m - 1 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(t = {x^2}\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) phương trình \(\left( * \right)\, \Leftrightarrow t{}^2 - \left( {m - 1} \right)t + {m^2} - m - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \(t > 0\) và 1 nghiệm \(t = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - m - 1} \right) > 0\\m - 1 > 0\\{m^2} - m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} + 4m + 4 > 0\\m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 2m + 5 > 0\\m = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < \frac{5}{3}\\m = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy \(m = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)
Chọn D.
