Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
+ Tìm TXĐ của hàm số.
+ Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
+ Sử dụng định lí Vi-ét tính \({y_{CD}}.{y_{CT}}\) theo \(m\) và tìm GTNN.
Giải chi tiết:+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
+ Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 4m - 2}}{{x - 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x - m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 4m + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} - 2x + {m^2} - 3m + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
+ Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x + {m^2} - 3m + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - {m^2} + 3m - 3 > 0\\1 - 2 + {m^2} - 3m + 3
e 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 3m - 2 > 0\\{m^2} - 3m + 2
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\).
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: \(y = 2x - m - 1\).
+ \({y_{CD}}.{y_{CT}} = \left( {2{x_1} - m - 1} \right)\left( {2{x_2} - m - 1} \right)\)
\( = 4{x_1}{x_2} - 2\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( * \right)\)
+ Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m + 3\end{array} \right.\).
Thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} = 4\left( {{m^2} - 3m + 3} \right) - 4\left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 12 - 4m - 4 + {m^2} + 2m + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 5{m^2} - 14m + 9\end{array}\)
\( \Rightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(m = \dfrac{7}{5}\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \(\min {y_{CD}}.{y_{CT}} = - \dfrac{4}{5}\) khi \(m = \dfrac{7}{5}\).
Chọn B.
