Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m \) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + {m^2}}}{{x - 1}} \) trên đoạn \( \left[ {2;3} \right] \) bằng \(11 \). A.\(m = 3\) B.\(m = \sqrt {19} \) C.\(m = \pm 3\) D.\(m = \pm \sqrt {19} \)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Suy ra hàm số đã cho xác định là liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Ta có : \(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \dfrac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{1\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {x + {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\end{array}\) Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định hay hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 11 = \dfrac{{2 + {m^2}}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3\). Chọn C.