Đáp án: $n=2$
Giải thích các bước giải:
Đặt $S=1!+2!+.....+n!$
Xét các trường hợp:
-Nếu $n=1⇒S=1!=1$ (loại)
-Nếu $n=2⇒S=1!+2!=1+2=3$ (thỏa mãn)
-Nếu $n=3⇒S=1!+2!+3!=1+2+6=9$ (loại)
-Nếu $n=4⇒S=1!+2!+3!+4!=33$ (loại)
-Nếu $n=5⇒S=1!+2!+3!+4!+5!=153$ (loại)
-Nếu $n>5$
Ta có: $n!=1.2.3.4.5.6.....n=720......n\vdots9$
$⇒6!;7!;8!;.....$ chia hết cho $9$
Khi đó: $S=1!+2!+3!+.....+n!=153+6!+7!+.....+n!\vdots9$
$⇒S$ là hợp số (loại)
Vậy $n=2$