Đáp án:
$n=3k$
Giải thích các bước giải:
+) $\text{Xét n chia 3 dư 1: $n=3k+1$ (k ∈ N)}$
$\text{Ta có: $2^n-1=2^{3k+1}-1=2^{3k}.2-1=8^k.2-2+1$}$
$\text{$=2.(8^k-1)+1=2.7.A+1$}$
⇒ $\text{chia 7 dư 1 ⇒ loại}$
+) $\text{Xét n chia 3 dư 2: $n=3k+2$}$
$\text{Ta có: $2^n-1=2^{3k+2}-1=2^{3k}.4-1=8^k.4-4+3$}$
$\text{$=4.(8^k-1)+3=4.7.A+3$}$
⇒ $\text{chia 7 dư 3 loại}$
+) $\text{Xét n chia hết cho 3: $n=3k$}$
$\text{Ta có: $2^n-1=2^{3k}-1=8^k-1=7.A$ (nhận)}$
$\text{Vậy $2^n-1$ chia hết cho 7 khi n có dạng 3k, hay n chia hết cho 3}$
Chú ý:
$\text{Hằng đẳng thức đã sử dụng trong bài là:}$
$\text{Với mọi m ∈ N thì:}$
$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+......+ab^{m-2}+b^{m-1})$
$\text{Ứng dụng vào: $8^k-1=(8-1)(8^{k-1}+8^{k-2}+......+8+1)=7.A$}$
Chúc bạn học tốt !!!
