`TH_{1}:x=y=0`, ta thấy thỏa mãn điều kiện.

`TH_{2}:x,y\ne=0`, ta có:

`3(x^2+xy+y^2)=x+8y`

`⇔3x^2+3xy+3y^2-x-8y=0`

`⇔6.(3x^2+3xy+3y^2-x-8y)=0.6`

 `⇔18x^2+18xy+18y^2-6x-48y=0`

`⇔(9x^2+18xy+9y^2)+(9x^2-6x+1)+(9y^2-48y+64)-65=0`

`⇔(3x+3y)^2+(3x-1)^2+(3y-8)^2=65`

Vì `x,y ∈Z`, mà` (3x+3y)^2+(3x-1)^2+(3y-8)^2` là tổng của 3 số chính phương, nên ta có thể tách là:

`65=0+1+64=0+16+49=36+4+25.`

Ta thấy vai trò của số nguyên âm và số nguyên dương khi bình phương là như nhau nên ta giả sử `x\gey\ge0⇒(3x+3y)^2\ge(3x-1)^2\ge(3y-8)^2`, nên ta xét 3 trường hợp:

`1) 3x+3y=64, 3x-1=8, 3y-8=0 ⇒` không có `x,y` nguyên thỏa mãn.

`2) 3x+3y=49, 3x-1=16, 3y-8=0 ⇒` không có `x,y` nguyên thỏa mãn.

`3) 3x+3y=36, 3x-1=25, 3y-8=4 ⇒ x=y=1.`

Thử lại ta thấy thỏa mãn, vì ta đang giả sử cặp số tự nhiên nên cặp số nguyên âm ta cũng lấy vì khi bình phương đều cùng giá trị nên ta có thêm cặp  `(x,y)` là `(-1;-1).`

Vậy ta có cặp `(x,y)` là `(0;0),(1;1),(-1;-1).`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Lời giải.Ta có: $$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y=0 \\ \Delta_x = (3y-1)^2-4 \cdot 3 \cdot (3y^2-8y) = -27y^2+90y+1 \end{array}$$
Để $(1)$ có nghiệm nguyên thì $$\begin{aligned} \Delta \ge 0 & \Leftrightarrow -27y^2+90y+1 \ge 0 \\ & \Leftrightarrow 76-3(3y-5)^2 \ge 0 \\ & \Leftrightarrow (3y-5)^2 \le 25 \end{aligned}$$
Lại thấy $3y-5 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow (3y-5)^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Do đó chỉ có thể $$(3y-5)^2 \in \{ 1;4;16 \}.$$

$\boxed{ \text{TH 1}}$. Với $(3y-5)^2=1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3y-5=1 \\ 3y-5=-1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y=2 \\ y= \frac{4}{3} \; (\text{loai}) \end{array} \right. \Rightarrow y=2$.
Thay $y$ vào $(1)$ ta được $3x^2+5x-4=0$. Phương trình này không có nghiệm nguyên

$\boxed{ \text{TH 2}}$. Với $(3y-5)^2=4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3y-5=2 \\ 3y-5=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y= \frac{7}{3} \; ( \text{loai}) \\ y=1 \end{array} \right. \Rightarrow y=1$.
Thay $y$ vào $(1)$ ta được $3x^2+2x-5=0 \Leftrightarrow (3x+5)(x-1)=0 \Leftrightarrow x=1$.

$\boxed{ \text{TH 3}}$. Với $(3y-5)^2=16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3y-5=4 \\ 3y-5=-4 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y=3 \\ y= \frac{1}{3} \; (\text{loai}) \end{array} \right. \Rightarrow y=3$
Thay $y$ vào $(1)$ ta được $3x^2+8x+3=0$, phương trình này cũng vô nghiệm nguyên.

Vậy phương trình $(1)$ đã cho có nghiệm nguyên là $$\boxed{(x;y)=(1;1)}$$