Dựng $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{C} =45^\circ$
Chọn điểm $D$ trên $AC$ sao cho $\widehat{ABD} = 30^\circ$
$\Rightarrow \widehat{DBC} = 15^\circ$
Đặt $AD = 1$ (độ dài đơn vị)
Bằng các công thức tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta tính được:
$AB =AC = \sqrt3;\ \ BD = 2$
$\Rightarrow CD = AC - AD = \sqrt3 - 1$
Từ $D$ kẻ $DE\perp BC$
$\Rightarrow \triangle CED$ vuông cân tại $E$
$\Rightarrow CE = DE = \dfrac{CD}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{2}$
$\Rightarrow BE = BC - CE = \sqrt6 - \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{2}$
Xét $\triangle BDE$ vuông tại $E$ có:
$\sin\widehat{DBE} = \sin15^\circ = \dfrac{DE}{BD} = \dfrac{\dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$
$\cos\widehat{DBE} = \cos15^\circ = \dfrac{BE}{BD} = \dfrac{\dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$
$\tan\widehat{DBE} = \tan15^\circ = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{\sqrt6 +\sqrt2} = 2-\sqrt3$
$\cot\widehat{DBE} = \cot15^\circ = \dfrac{1}{2-\sqrt3} = 2+\sqrt3$
