$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{109}}{\frac{100}{1}+\frac{99}{2}+\frac{98}{3}+...+\frac{1}{100}}$ là sai. Phải là $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}}{\frac{100}{1}+\frac{99}{2}+\frac{98}{3}+...+\frac{1}{100}}$
Đặt B=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}}{\frac{100}{1}+\frac{99}{2}+\frac{98}{3}+...+\frac{1}{100}}$
Xét: ${\frac{100}{1}+\frac{99}{2}+\frac{98}{3}+...+\frac{1}{100}}$
=$(1+{\frac{99}{2})+(1+\frac{98}{3})+...+(1+\frac{1}{100})}$
=$\frac{101}{2}$ + $\frac{101}{3}$ + ...+$\frac{101}{100}$ + $\frac{101}{101}$
=101.($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$ +...+$\frac{1}{100}$ + $\frac{1}{101}$ )
⇒B=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3} +...+\frac{1}{100} + \frac{1}{101}}{101.(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100} + \frac{1}{101})}$
⇒B=$\frac{1}{101}$
Vậy B=$\frac{1}{101}$
