Đáp án:
$\dfrac{5\pi}4$
Lời giải:
Xét phương trình
$\cos^2x - \sin(2x) = \sqrt{2} + \cos^2\left( \dfrac{\pi}{2} + x \right)$
Áp dụng công thức tổng $\cos$ ta có
$\cos^2x - \sin(2x) = \sqrt{2} + \sin^2x$
$\Leftrightarrow 2\cos^2x - 2\sin(2x) = 2\sqrt{2} + 2\sin^2x$
$\Leftrightarrow 1 + \cos(2x) - 2\sin(2x) = 2\sqrt{2} + 1 - \cos(2x)$
$\Leftrightarrow \cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 1$
$\Leftrightarrow \cos \left( 2x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos 0$
Vậy
$2x - \dfrac{\pi}{4} = 2k\pi$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi$
Do $x \in (0, 2\pi)$ nên
$0 < \dfrac{\pi}{8} + k\pi < 2\pi$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{8} < k < \dfrac{15}{8}$
Vậy $k = 0, 1$
Vậy tổng hai nghiệm là
$\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi}{8} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$
Vậy kết quả là $\dfrac{5\pi}{4}$.
