Đáp án: a) $\left\{\begin{array}{l}2x+\alpha=\arcsin\left({\dfrac{-1}{\sqrt{10}}}\right)+k2\pi\\ 2x+\alpha=\pi-\arcsin\left({\dfrac{-1}{\sqrt{10}}}\right)+k2\pi\end{array} \right.(k\in\mathbb Z)$

               b) Với $m>0$ và $m\le-4$ phương trình có nghiệm

Giải thích các bước giải:

a) Khi $m=\dfrac{1}{2}$ ta có phương trình

$\dfrac{1}{2}\sin x+\left({\dfrac{1}{2}+1}\right)\cos x=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\cos x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{3}{2}\cos x=\dfrac{1}{2\cos x}$

Điều kiện: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,(k\in\mathbb Z)$

Nhân cả 2 vế của phương trình với $\cos x$ ta được phương trình:

$\sin x\cos x+3{\cos}^2x=1$

$\Rightarrow \dfrac{\sin 2x}{2}+3\left({\dfrac{\cos 2x+1}{2}}\right)=1$

$\Rightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin 2x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos 2x=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$

Đặt $\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ và $\sin \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Phương trình tương đương:

$\cos\alpha\sin 2x+\sin \alpha\cos 2x=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \sin(2x+\alpha)=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}2x+\alpha=\arcsin\left({\dfrac{-1}{\sqrt{10}}}\right)+k2\pi\\ 2x+\alpha=\pi-\arcsin\left({\dfrac{-1}{\sqrt{10}}}\right)+k2\pi\end{array} \right.(k\in\mathbb Z)$

b) Đk: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,(k\in\mathbb Z)$

Nhân cả 2 vế với $\cos x$ ta được phương trình:

$m\sin x\cos x+(m+1){\cos}^2x=m$

$\Rightarrow \dfrac{m\sin 2x}{2}+(m+1)\left({\dfrac{\cos 2x+1}{2}}\right)=m$

$\Rightarrow m\sin 2x+(m+1)\cos 2x=m-1$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

$-1\le\dfrac{m-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\le1$

$\Rightarrow -\sqrt{2m^2+2m+1}\le m-1$ (1) và $m-1\le\sqrt{2m^2+2m+1}$ (2)

(1)$\Leftrightarrow \sqrt{2m^2+2m+1}\ge1-m$

Th1: $1-m<0\Leftrightarrow m>1$

Th2: $1-m\ge0$ và $2m^2+2m+1\ge(1-m)^2$

$\Rightarrow m\le1$ và $m\ge 0$ hoặc $m\le -4$

Kết hợp suy ra $m\le-4$ hoặc $m\ge0$

(2)$\Leftrightarrow \sqrt{2m^2+2m+1}\ge m-1$

Th1: $m-1<0\Leftrightarrow m<1$

Th2: $m-1\ge0$ và $2m^2+2m+1\ge(m-1)^2$

$\Rightarrow m\ge1$ và $m\ge 0$ hoặc $m\le -4$

Kết hợp suy ra với mọi $m$

Kết hợp (1) và (2) suy ra với $m\ge0$ và $m\le-4$ phương trình có nghiệm (*)

Với $m=0\Rightarrow cos x=0$ không thỏa mãn điều kiện (loại).

Vậy $m>0$ hoặc $m\le-4$ phương trình có nghiệm.