Đáp án: $D.\,\,S=5$
Giải thích các bước giải:
$y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5$
$y'=-3{{x}^{2}}+6x$
$y'=0\,\,\Leftrightarrow \,\,3{{x}^{2}}+6x=0\,\,\Leftrightarrow \,\,\left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.$
$*\,\,$Với $x=0\,\,\Rightarrow \,\,y=5\,\,\Rightarrow \,\,A\left( 0;5 \right)$
$*\,\,$Với $x=2\,\,\Rightarrow \,\,y=9\,\,\Rightarrow \,\,B\left( 2;9 \right)$
Có nhiều cách để tính diện tích nhưng tổng quát nhất là công thức diện tích Heron
$\overrightarrow{OA}=\left( 0;5 \right)\,\,\Rightarrow \,\,OA=5$
$\overrightarrow{OB}=\left( 2;9 \right)\,\,\Rightarrow \,\,OB=\sqrt{85}$
$\overrightarrow{AB}=\left( 2;4 \right)\,\,\Rightarrow \,\,AB=2\sqrt{5}$
Nữa chu vi tam giác $OAB$ là $p=\dfrac{OA+OB+AB}{2}=\dfrac{5+\sqrt{85}+2\sqrt{5}}{2}$
Ta thấy nữa chu vi khá dài nên lưu biến vào máy tính cho dễ:
Diện tích tam giác $OAB$ là $S=\sqrt{p\left( p-5 \right)\left( p-\sqrt{85} \right)\left( p-2\sqrt{5} \right)}=5$
Chọn câu $D$
