Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\) bằngA.\(7\pi \)B.\(13\pi \)C.\(\dfrac{{40\pi }}{3}\)D.\(\dfrac{{70\pi }}{3}\)

khoavu2001

2 năm trước

Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\) bằng
A.\(7\pi \)
B.\(13\pi \)
C.\(\dfrac{{40\pi }}{3}\)
D.\(\dfrac{{70\pi }}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

khoavu2001

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\cot x > 0\end{array} \right.\).
Đặt \(t = {\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x = {2^t}\\\cot x = {3^{\dfrac{t}{2}}}\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\cot ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {3^t} = \dfrac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} \Leftrightarrow {3^t} - {12^t} = {4^t} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} + {12^t} \Leftrightarrow 1 = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t}\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\ln \dfrac{4}{3} + {4^t}\ln 4 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - 1}} + {4^{ - 1}} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) nên \(t = - 1\) là nghiệm duy nhất của (*).
\( \Leftrightarrow {\log _2}\cos x = - 1 \Leftrightarrow \cos x = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
\(x \in \left[ {0;20} \right] \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le 20 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{{20 - \dfrac{\pi }{6}}}{{2\pi }}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{7\pi }}{3};\dfrac{{13\pi }}{3};\dfrac{{19\pi }}{3}} \right\}\).
Tổng các nghiệm là \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{7\pi }}{3} + \dfrac{{13\pi }}{3} + \dfrac{{19\pi }}{3} = \dfrac{{40\pi }}{3}\).
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho đa thức biến x có dạng \(f(x) = {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d\;\;\;(a,b,c,d \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(f(4 + i) = f( - 1 - i) = 0.\) Khi đó \(a + b + c + d\)bằng
A.\(34.\)
B.\(\dfrac{{17}}{8}.\)
C.\(\dfrac{{17}}{5}.\)
D.\(\dfrac{{25}}{8}.\)

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), mặt phẳng \(Oyz\) có phương trình là
A.\(x = 0\)
B.\(z = 0\)
C.\(x + y + z = 0\)
D.\(y = 0\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \((C)\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của \(a \in R\) để qua điểm \(M(0;a)\) có thể kẻ được đường thẳng cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm \(M\).
A.\(( - \infty ; - 1] \cup {\rm{[3}}; + \infty )\)
B.\((3; + \infty )\)
C.\(( - \infty ;0)\)
D.\(( - \infty ;0) \cup (2; + \infty )\)

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), mặt phẳng \((P):\,x + y - 3z = 5\) đi qua điểm nào dưới đây?
A.\(P(1; - 2; - 2)\)
B.\(M( - 1; - 2; - 2)\)
C.\(N(1;2; - 2)\)
D.\(Q(1; - 2;2)\)

Gọi \({z_1}\)và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} - 3z + 12 = 0\). Khi đó \({z_1} + {z_2}\) bằng
A.\(\dfrac{3}{2}.\)
B.\( - \dfrac{3}{4}.\)
C.\( - \dfrac{3}{2}.\)
D.\(\dfrac{3}{4}.\)

Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2 - \sqrt x } \right)\).
A.\(D = \left[ {0;4} \right]\).
B.\(D = \left[ {0;4} \right).\)
C.\(D = \left( { - \infty ;4} \right)\).
D.\(D = \left( {0;4} \right)\).

Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho điểm \(A(5; - 2;1)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên trục \({\rm{Oy}}\) là điểm
A.\(M(0; - 2;1)\)
B.\(M(0;2;0)\)
C.\(M( - 5; - 2; - 1)\)
D.\(M(0; - 2;0)\)

Bất phương trình \({\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)^{1 - \cos x}} \ge 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \({\rm{[}}0;1000{\rm{]}}\)?
A.Vô số.
B.\(159.\)
C.\(160.\)
D.\(158.\)

Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?
A.\(y = - {x^4} + 2{x^2}\).
B.\(y = - {x^3} + 2{x^2}\).
C.\(y = - {x^4} - 2{x^2}\).
D.\(y = {x^4} - 2{x^2}\).

\(C_n^2\) bằng biểu thức nào sau đây?
A.\(\dfrac{{n(n - 1)}}{3}\)
B.\(\dfrac{{n(n - 1)}}{2}\)
C.\(\dfrac{{n(n - 1)}}{6}\)
D.\(n(n - 1)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến