Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Sưu tầm nhóm Giáo viên Toán Việt NamGọi điểm \(M\left( {m;n;p} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 2m + n + 2p - 36 = 0\).Mặt cầu \(\left( P \right):\,\,2x + y + 2z - 36 = 0\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 6\).Vì \(MA,\,\,MB,\,\,MC\) là các tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(MA = MB = MC = \sqrt {O{M^2} - {R^2}} = \sqrt {{m^2} + {n^2} + {p^2} - 36} \) (\({m^2} + {n^2} + {p^2} - 36 > 0\)).\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,C\) thuộc mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) tâm \(M\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{m^2} + {n^2} + {p^2} - 36} \).\( \Rightarrow \) Phương trình mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) là: \({\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y - n} \right)^2} + {\left( {z - p} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2} - 36\).Lại có \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(mx + ny + pz - 36 = 0\).Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua điểm \(K\left( {2;1;2} \right)\).\( \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right) \le NK = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) \bot NK\).\( \Rightarrow mp\left( {ABC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {KN} = \left( {1;2;1} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {2;1;2} \right)\).\( \Rightarrow \) Khi khoảng cách từ \(N\) đến \(\left( {ABC} \right)\) lớn nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + 2y + z - 6 = 0\) \( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = - 6\).Vậy \(a + b + c = - 4\).Chọn D
