Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P):2x+2y−z+4=0 và các điểm A(2;1;2),B(3;−2;2). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA, MB luôn tạo với mặt phẳng (P) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C). A.(2774;−2797;2762). B. (932;−949;92). C. (310;−3;314). D.(2117;−2117;2117).
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) ⇒AMH=BMK Ta có: AH=d(A;(P))=3∣4+2−2+4∣=38;BK=d(B;(P))=3∣6−4−2+4∣=34⇒AH=2.BK ⇒HM=2.MK (do ΔAHM đồng dạng với ΔBKM (g.g))
Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho HE=2KE; F thuộc đoạn KI sao cho FI=2KF. Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định.
* Ta chứng minh : M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE: Gọi N là điểm đối xứng của M qua K ⇒ΔHMN cân tại M E nằm trên trung tuyến HK và HE=32HK⇒E là trọng tâm ΔHMN⇒ME⊥HN Mà HN//MI⇒ME⊥MI Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI ⇒M di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P)) * Tìm tọa độ điểm F: Phương trình đường cao AH là: ⎩⎨⎧x=2+2ty=1+2tz=2−t Giả sử H(2+2t1;1+2t1;2−t1). H∈(P)⇒2(2+2t1)+2(1+2t1)−(2−t1)+4=0⇔t1=−98 ⇒H(92;−97;926) Phương trình đường cao BK là: ⎩⎨⎧x=3+2ty=−2+2tz=2−t Giả sử K(3+2t2;−2+2t2;2−t2). K∈(P)⇒2(3+2t2)+2(−2+2t2)−(2−t2)+4=0⇔t2=−94⇒K(919;9−26;922) Ta có: HF=34HK⇔⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧xF−92=34.917yF+97=34.9−19zF−926=34.9−4⇒F(2774;27−97;2762) Chọn: A
