Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 3z - 3 = 0.\) Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn, tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(r\) của đường tròn đó.
A.\(I\left( {\dfrac{8}{7};\dfrac{{25}}{7}; - \dfrac{{16}}{7}} \right)\)và \(r = \dfrac{{2\sqrt {854} }}{3}\)
B.\(I\left( {\dfrac{8}{7}; - \dfrac{{31}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right)\)và \(r = \dfrac{{\sqrt {854} }}{5}\)
C.\(I\left( { - \dfrac{8}{7};\dfrac{{31}}{7};\dfrac{2}{7}} \right)\)và \(r = \dfrac{{\sqrt {854} }}{7}\)
D.\(I\left( { - \dfrac{8}{7};\dfrac{{31}}{7};\dfrac{2}{7}} \right)\)và \(r = \dfrac{{\sqrt {854} }}{3}\)

Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;5} \right)?\)
A.\(2x - 2y + 5z + 15 = 0\)
B.\(2x - 2y + 5z + 7 = 0\)
C.\(2x + 3y - z + 7 = 0\)
D.\(2x + 3y - z + 15 = 0\)

Biết \(\int {\left( {3{x^3} + 5{x^4}} \right)dx} = A.{x^\alpha } + B.{x^\beta } + C\). Tính \(P = A.\alpha + B.\beta \)
A.\(P = 37\)
B.\(P = 4\)
C.\(P = 29\)
D.\(P = 8\)

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(P\left( {3;1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 4}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{3}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \(P\) và vuông góc với đường thẳng \(d\)?
A.\(x - 4y + 3z + 3 = 0\)
B.\(x + 3y + 3z - 3 = 0\)
C.\(3x + y + 3z - 15 = 0\)
D.\(x + 3y + 3z - 15 = 0\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;0;3} \right)\) và \(C\left( {0;5;0} \right).\) Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)?\)
A.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{3} =  - 1\)
B.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{3} = 1\)
C.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{5} = 1\)
D.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{5} = 0\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;5;4} \right)\) và \(C\left( {3;0;5} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)?\)
A.\(x + 2y + 3z + 13 = 0\)
B.\(4x + y - 5z + 13 = 0\)
C.\(4x - y + 5z + 13 = 0\)
D.\(4x - y - 5z + 13 = 0\)

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(K\) (với \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}\)). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  - \int {g\left( x \right)dx} \)
B.\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \)
C.\(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \)  với \(k\) là hằng số khác \(0.\)
D.\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{1 - i}}\) trên mặt phẳng tọa độ.
A.\(Q\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\)
B.\(N\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)
C.\(P\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)
D.\(M\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\)

Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos x + 2\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \dfrac{\pi }{4}\).
A.\(S = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B.\(S = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{7}{{10}}\)
C.\(S = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D.\(S = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tính môđun của số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z\left| z \right| - 1 = \left( {i - 2} \right)\left| z \right|\).
A.\(\left| z \right| = 1\)
B.\(\left| z \right| = 4\)
C.\(\left| z \right| = 2\)
D.\(\left| z \right| = 3\)