Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB. Ta chứng minh \(AF\perp EF.\)
Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó \(AF\perp EF.\)
Đường thẳng AF có pt: x + 3y - 4 = 0.
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 3x-y=10\\ x+3y=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} x=\frac{17}{5}\\ y=\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\rightarrow F\left ( \frac{17}{5};\frac{1}{5} \right )\rightarrow AF=\sqrt{\frac{32}{5}}\)
\(\triangle AFE\sim \triangle DCB\rightarrow EF=\frac{1}{2}AF=2\sqrt{\frac{2}{5}};\)
\(E(t;3t-10)\rightarrow EF^{2}=\frac{8}{5}\Leftrightarrow \left (t-\frac{17}{5} \right )^{2}+\left ( 3t-\frac{51}{5} \right )^{2}=\frac{8}{5}\)
\(\Leftrightarrow 5t^{2}-34t+57=0\Leftrightarrow t=3 \vee t=\frac{19}{5}\; hay \; E(3;-1) \vee E\left ( \frac{19}{5};\frac{7}{5} \right )\)
Theo giả thiết ta được \(E(3;-1), \, pt \, AE:x+y-2=0.\) Gọi D(x; y), tam giác ADE vuông cân tại D nên
\(\left\{\begin{matrix} AD=DE\\ AD \perp DE \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y+1)^{2}\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! (x-1)(x-3)=(y-1)(y+1) \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y=x-2\\ (x-1)(x-3)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=1 \end{matrix}\right.\, hay \, D(1;-1)\vee D(3;1)\)
Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1; -1).
Khi đó, C(5; -1); B(1; 5). Vậy B(1; 5); C(5; -1) và D(1; -1).
