Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Vi-et để xử lý biểu thức \(P.\)
Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) ta có:
\({x^2} = 4mx - 3{m^2} - 2m + 3\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 3{m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
\(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4{m^2} - \left( {3{m^2} + 2m - 3} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 3{m^2} + 2m + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 2m - 3\end{array} \right.\)
Để tồn tại biểu thức \(P = \frac{{4{x_1}{x_2} - 2m}}{{{x_1} + {x_2} + 2}}\) thì \({x_1} + {x_2} + 2
e 0 \Rightarrow 4m + 2
e 0 \Rightarrow m
e - \frac{1}{2}.\)
\(P = \frac{{4{x_1}{x_2} - 2m}}{{{x_1} + {x_2} + 2}} = \frac{{4\left( {3{m^2} + 2m - 3} \right) - 2m}}{{4m + 2}}\)\( = \frac{{6{m^2} + 3m - 6}}{{2m + 1}} = 3m - \frac{6}{{2m + 1}}.\)
Với \(m \in \mathbb{Z},\) để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(2m + 1\) là ước của \(6.\)
Mà \(U\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 3;\, \pm 6} \right\}\)
Lại có: \(2m + 1\) là số lẻ \( \Rightarrow 2m + 1 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 1 = - 3\\2m + 1 = - 1\\2m + 1 = 1\\2m + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}\) thỏa mãn bài toán.
Từ đó ta tìm được \(m \in \left\{ {1;0; - 1; - 2} \right\}.\)
Chọn C.
