Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
+) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) vào đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\) ta được: \(2 - 1 + 1 = 2 > 0\)và \(9 - 6 + 1 = 4 > 0\) \( \Rightarrow \) Hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\).
+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(\Delta \).
Xét \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {1; - 1} \right);\,\,{\vec u_\Delta } = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(A\left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\Delta \) (nhận \({\vec u_\Delta }\left( {1;1} \right)\) làm VTPT) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 2 + y - 1 = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\)
Gọi \(H = \left( d \right) \cap \left( \Delta \right)\). Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\)
Xác định tọa độ điểm \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\left( {2;1} \right)\) qua \(\left( \Delta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + {x_{A'}}}}{2}\\2 = \frac{{1 + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;3} \right)\)
+) Xét \(\Delta A'MB\) ta có: \(MA' + MB \ge A'B\) (bất đẳng thức tam giác)
\(\left. \begin{array}{l}A'\left( {0;3} \right)\\B\left( {9;6} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B = \sqrt {{{\left( {9 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} \)
+) Ta có: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B = 3\sqrt {10} \)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(MA + MB = MA' + MB = A'B = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow \)Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng
\( \Rightarrow \)\({\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = 3\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \) Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng và \(M \in \left( \Delta \right)\).
Điều kiện \(1\) : \(M \in \left( \Delta \right) \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Điều kiện \(2\): Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng
\(\overrightarrow {A'\,\,B} = \left( {9;3} \right) \Rightarrow {\vec u_{_{A'B}}} = \left( {3;1} \right);\,\,{\vec n_{_{A'B}}} = \left( { - 1;3} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A'B\) nhận \({\vec n_{_{A'B}}}\) làm VTPT là:
\( - 1.\left( {x - 0} \right) + 3.\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Rightarrow - x + 3y - 9 = 0\)
Vì ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng nên \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(A'B\) suy ra:
\( - a + 3b - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ điều kiện \(1\) và điều kiện \(2\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + 1 = 0\\ - a + 3b - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 7\)
Vậy \(a + b = 7\).
Chọn A
