Phương trình $(C): x^2+y^2-2x+4y-4=0\Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=9$
$(C)$ có $I(1;-2)$ và $R=3$
Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đến $(d):y=mx+1$ thì H là trung điểm dây cung AB với A,B là giao điểm của $(C)$ và $(d)$. Suy ra $HA=HB=\dfrac{AB}{2}=2$
$IH^2=R^2-HA^2=9-4=5\Rightarrow IH=\sqrt 5$
$\begin{array}{l} d\left( {I,d} \right) = IH\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m.1 - 1.\left( { - 2} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} = 5\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {4m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow T = \dfrac{{ - 1}}{2}.2 = - 1\\ \\ \end{array}$
