Xét các số `abcde` mở rộng gồm `5` chữ số khác nhau lấy từ `8` số trên với `a` có thể bằng `0`.
Có `8` cách chọn chữ số `a.`
Có `7` cách chọn chữ số `b` khác `a`.
Có `6` cách chọn chữ số `c` khác `a, b.`
Có `5` cách chọn chữ số `d` khác `a, b, c.`
Có `4` cách chọn chữ số `e` khác `a, b, c, d.`
Vậy có `8 X 7 X 6 X 5 X 4 = 6720` số `abcde` gồm `5` chữ số khác nhau lấy từ `S.`
Do vai trò mỗi chữ số của tập `S` xuất hiện trong mỗi hàng là như nhau nên mỗi hàng có `6720 : 8 = 840` lần xuất hiện của mỗi chữ số trong mỗi hàng.
Vậy số các số lập được do số `0` đứng đầu là: `840` số.
Vậy số các số có `5` chữ số lập được là: `6720 − 840 = 5880. 6720−840=5880.`
+) Vậy tổng các số `abcde` mở rộng là:
`840 X (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) X 11111 = 261330720 (1)`
Các số `abcde` mở rộng với `a = 0` chính là các số `bcde` với `b, c, d, e` là các chữ số khác nhau lấy từ tập `T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.`
Có `7` cách chọn chữ số `b` lấy từ tập `T`.
Có `6` cách chọn chữ số `c` lấy từ tập `T` và khác `b`.
Có `5` cách chọn chữ số `d` lấy từ tập `T` và khác `b, c`.
Có `4` cách chọn chữ số `e` lấy từ tập `T` và khác `b, c, d`.
Vậy có `7 X 6 X 5 X 4 = 840` số `bcde` với `b, c, d, e` đôi một khác nhau lấy từ tập `T.`
Do vai trò mỗi chữ số của tập `T` xuất hiện trong mỗi hàng là như nhau nên mỗi hàng có `840 : 7 = 120` lần xuất hiện của mỗi chữ số trong mỗi hàng.
Vậy tổng các số `bcde` là: `120 X (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) X 1111 = 3732960 (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra tổng các số `abcde` cần tìm là: `261330720 – 3732960 = 257597760.`
