Đáp án đúng: A
Giả sử $M(0;{{y}_{0}})\in Oy$ là điểm thỏa mãn yêu cầu bài.
Gọi$d$ là đường thẳng đi qua$M$ và có hệ số góc$k$, khi đó$d$ có phương trình là:
$y=k(x-0)+{{y}_{0}}=kx+{{y}_{0}}$.
Từ$M$ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến đồ thị$(H)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{x-1}}=kx+{{y}_{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{{{{x}^{2}}-2x-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,$
Thay (2) vào (1) ta được:
$\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{x-1}}=\frac{{{{x}^{2}}-2x-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}.x+{{y}_{0}}\,\,\,\,\,(x
e 1)$.
$\Leftrightarrow (1-{{y}_{0}}){{x}^{2}}+2(1+y)x-1-y=0\,\,\,\,\,(3)$.
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có 1 nghiệm khác 1.
+ Trường hợp 1:$1-{{y}_{0}}=0\Leftrightarrow {{y}_{0}}=1$ ta có:
$4x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$. Do đó${{y}_{0}}=1$ thỏa mãn.
+ Trường hợp 2:$1-{{y}_{0}}
e 0\Leftrightarrow {{y}_{0}}
e 1$.
Phương trình (3) có nghiệm kép khác 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '=0\\-\frac{b}{{2a}}
e 1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y_{0}^{2}+2{{y}_{0}}=0\\\frac{{1+{{y}_{0}}}}{{1-{{y}_{0}}}}
e 1\end{array} \right.\Leftrightarrow {{y}_{0}}=-1$.
+ Trường hợp 3: Phương trình (3) có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm bằng 1 và một nghiệm khác 1
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '>0\\f(1)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y_{0}^{2}+2{{y}_{0}}>0\\1-{{y}_{0}}+2(1+{{y}_{0}})-1-{{y}_{0}}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y_{0}^{2}+2{{y}_{0}}>0\\2=0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow {{y}_{0}}\in \varnothing $.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài là$M(0;1)$ hay$M(0;-1)$.
Chọn A.
