a)
Vì $AN$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
$\to \widehat{NAC}=\widehat{NAB}$
$\to \overset\frown{NC}=\overset\frown{NB}$
$\to N$ là điểm chính giữa $\overset\frown{BC}$
Đường tròn $\left( O \right)$ có:
$MA$ là tiếp tuyến
$AC$ là dây cung
$\to \widehat{MAC}=\widehat{MBA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )
Ta có:$\begin{cases}\widehat{MAD}=\widehat{MAC}+\widehat{DAC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\\\widehat{MDA}=\widehat{MBA}+\widehat{DAB}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài của tam giác }\right)\end{cases}$
Mà: $\begin{cases}\widehat{MAC}=\widehat{MBA}\,\,\,\left(\,cmt\,\right)\\\widehat{DAC}=\widehat{DAB}\,\,\,\left(\text{ vì AD là tia phân giác góc BAC }\right)\end{cases}$
Nên: $\widehat{MAD}=\widehat{MDA}$
b)
Vì $\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta MAD$ cân tại $M$
$\to MA=MD$
Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBA$, ta có:
$\widehat{AMB}$ là góc chung
$\widehat{MAC}=\widehat{MBA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta MAC\sim\Delta MBA\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MC}{MA}$
$\to M{{A}^{2}}=MB.MC$
$\to M{{D}^{2}}=MB.MC$ ( vì $MA=MD$ )
c)
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta ANB$, ta có:
$\widehat{CAD}=\widehat{NAB}$ ( vì $AN$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ )
$\widehat{ACD}=\widehat{ANB}$ ( cùng chắn cung $AB$ )
$\to \Delta ACD\sim\Delta ANB\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to AB.AC=AD.AN$
