- Lập phương trình Elip. - Giả sử hình chữ nhật có chiều dài \(2a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\). Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng \(2a\), tính bán kính đáy của hình trụ. - Tính chiều cao hình trụ. - Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\). - Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.Giải chi tiết:Theo bài ra ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a = 8\\2b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Phương trình elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\,\,\left( E \right)\). Giả sử hình chữ nhật có chiều dài \(2a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\). Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng \(2a\) nên bán kính đáy là \(R = \dfrac{{2a}}{{2\pi }} = \dfrac{a}{\pi }\). Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ
Thay \(x = a\) ta có \(\dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \right)\) \( \Rightarrow {y_A} = 2\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \) \( \Rightarrow A\left( {a;2\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} } \right)\). \( \Rightarrow \) Chiều rộng của hình chữ nhật là \(4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \) \( \Rightarrow \) Chiều cao của hình trụ là \(h = 4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \). \( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h = \pi .\dfrac{{{a^2}}}{{{\pi ^2}}}4\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{64}}{\pi }.\dfrac{{{a^2}}}{{16}}\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \). Xét hàm số \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2}}}{{16}}\sqrt {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}} \), đặt \(t = \dfrac{{{a^2}}}{{16}}\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\) \( \Rightarrow f\left( t \right) = t\sqrt {1 - t} \). Ta có \(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \sqrt {1 - t} + t.\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - t} }} = \dfrac{{2 - 3t}}{{2\sqrt {1 - t} }}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\end{array}\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{2}{3}.\sqrt {1 - \dfrac{2}{3}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\). Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng \(\dfrac{{64}}{\pi }.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{128\sqrt 3 }}{{9\pi }}\). Chọn D
