c.
+ Kẻ $AH ⊥ BC$.
⇒ $∆ABH = ∆ACH$ (ch - gn).
⇒ $BAH = CAH$. $(1)$
+ Đường vuông góc với $MN$ tại $I$ cắt $AH$ tại $O$.
⇒ $∆OAB = ∆OAC$ (c.g.c).
⇒ $OBA = OCA$. $(2)$
+ Mặt khác:
• $∆OBH = ∆OCH$ (hai cạnh góc vuông) ⇒ $OB = OC$. $(I)$
• $∆OMI = ∆ONI$ (hai cạnh góc vuông) ⇒ $OM = ON$. $(II)$
• $BM = CN$. $(III)$
+ Từ $(I), (II), (III)$ suy ra: $∆OBM = ∆OCN$ (c.c.c) ⇒ $OBM = OCN$. $(3)$
+ Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $OCA = OCN (= OBA) = 90°$ ⇒ $OA ⊥ AC$.
+ Vì $AC$ cố định mà $OC ⊥ AC$ ⇒ $O$ cố định.
+ Vậy đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $I$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.
