Công thức 1: Công thức tính nhanh diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Trong quá trình làm các bài toàn về diện tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy với một tam giác có sẵn tọa độ của ba đỉnh, ta thường sử dụng công thức tính nhanh sau:
Xét tam giác ABC có $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\overrightarrow{AC}\left( {{x}_{1}};{{y}_{2}} \right)$ thì ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$
Chứng minh. Ta có:
${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BAC}}$
$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)}$
$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \right)\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)-{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}} \right)}^{2}}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|$.
Xét tam giác ABC có $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\overrightarrow{AC}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thì ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{1}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|$.
Chứng minh. Ta có:
${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BAC}}$
$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)}$
$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \right)\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)-{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}} \right)}^{2}}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$
Công thức 2: Công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ cắt nhau sẽ có hai đường thẳng là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này.
Phương trình đường phân giác có phương trình xác định bởi:
$\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$
Công thức 3: Công thức phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Xét hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$. Khi đó nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0$ thì
$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$
Là véctơ chỉ phương của đườngthẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên.
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}<0$ thì
$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$
là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên.
Công thức 4: Công thức phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Xét hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$. Khi đó nếu
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0$ thì
$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$
là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên.
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}<0$ thì
$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$
là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên.
Công thức 5: Tính nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh
Xét tam giác ABC với $BC=a,\,CA=b,\,AB=c$ và gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi đó xuất phát từ đẳng thức véctơ $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ ta có
.png)
