ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9

Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.

Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.

A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\]: có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\].

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\]

– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S<0\]

– Có 2 nghiệm trái dấu là: \[P<0\] ( khi đó hiển nhiên Δ>0).

B- So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\] có ít nhất một nghiệm không âm.

VD1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:

\[{{x}^{2}}+mx+2m-4=0\] (1)

Cách 1:

\[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\] \[\forall m\] khi đó phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thỏa mãn:  \[P=2m-4;S=-m\]

Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm. Điều kiện đó là :

Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\le 2\].

Cách 2: \[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m\]; \[P=2m-4;S=-m\].

- Nếu \[P\le 0\]\[\Leftrightarrow m\le 2\], thì phương trình (1) tông tại nghiệm không âm.

- Nếu \[P>0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta  phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.

Kết luận: \[m\le 2\].

Cách 3: Giải phương trình (1): \[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m\]

Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-(m-4)}{2}=2-m\];  \[{{x}_{2}}=\frac{-m+(m-4)}{2}=-2\]

Do \[{{x}_{2}}=-2<0\] nên ta phải có \[{{x}_{1}}\ge 0\Leftrightarrow 2-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 2\].

Ví dụ 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2(m+3)x+4m-1=0\] (2). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.

Giải

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta

có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] (1)

Cách 1: Đặt y = x – 2 \[\Rightarrow x=y+2\] thay vào phương trình (1), ta được:

\[{{\left( y+2 \right)}^{2}}+m\left( y+2 \right)-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left( 4+m \right)y+3-2m=0\] (2)

Ta cần tìm nghiệm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm.

\[\Delta ={{\left( m+4 \right)}^{2}}-4\left( 2m+3 \right)={{m}^{2}}+4>0\forall m\]

\[P=2m+3;S=-\left( m+4 \right)\]. Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là :

Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Cách 2:

Giải phương trình (1) ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].

Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:

\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] (3)

- Nếu \[m\le -4\] thì (3) có vế phải âm, vế trái dương nên (3) đúng.

- Nếu \[m>-4\] thì (3) \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].

Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.

Ví dụ 2:

Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:

\[3{{x}^{2}}-4x+2\left( m-1 \right)=0\] (1)

Giải

Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào (1) ta được:

\[3{{\left( y+2 \right)}^{2}}-4\left( y+2 \right)+2\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:

Kết luận: Với \[-1

Cách 2:

Xét phương trình (1). Giải điều kiện:

Giải (2) được \[m<\frac{5}{3}\].

Giải (3): \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4>0\Leftrightarrow \frac{2\left( m-1 \right)}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]

Giải (4): \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4<0\Leftrightarrow \frac{4}{3}-4<0\] luôn đúng.

Vậy ra được \[-1

Cách 3: giải phương trình (1): \[{{\Delta }^{'}}=4-6\left( m-1 \right)=10-6m\]

Nếu \[{{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{3}\] thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

\[{{x}_{1}}=\frac{2-\sqrt{10-6m}}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{2+\sqrt{10-6m}}{3}\]

Do \[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\] nên điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệ nhỏ hơn 2 là:

\[{{x}_{2}}<2\Leftrightarrow 2+\sqrt{10-6m}<6\Leftrightarrow \sqrt{10-6m}<4\Leftrightarrow 10-6m<16\Leftrightarrow m>-1\]

Vậy ta được: \[-1

III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

 

Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

\[{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0\] (1)

Giải

Đặt \[{{x}^{2}}=y\ge 0\]. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình \[{{y}^{2}}+my+2m-4=0\] có ít nhất một nghiệm không âm.

Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là \[m\le 2\]

Ví dụ 2: TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình

\[x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=m\] (1) chỉ có 1 phần tử

Giải

Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoản mãn điều kiện \[x\ge m\]. Đặt x –m =y. Khi đó phương trình (2) trở thành \[2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0\] (3)

Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn \[y\ge 0\].

Có 3 trường hợp xảy ra:

a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm

b) Phương trình (3) co s2 nghiệm trái dấu:

\[P<0\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-1}{2}<0\Leftrightarrow m=1\]

c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:

Kết luận \[m=-\sqrt{2}\] hoặc \[-1

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

\[x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)=m\] (1)

Giải

(1) \[\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x-8 \right)=m\]

Đặt \[{{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0\], khi đó (1) trở thảnh \[\left( y-1 \right)\left( y-9 \right)=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+\left( 9-m \right)=0\] (2)

Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x.

Do đó:

(1) có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \](2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở (2) ta  phải có:

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: \[{{x}^{2}}-2x+\left( m-2 \right)=0\]

 Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: \[{{x}^{2}}+2m\left| x-2 \right|-4x+{{m}^{2}}+3=0\]

 Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-5 \right)x+\left( m-1 \right)=0\]

có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[{{x}^{2}}+mx-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.

Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình: \[{{x}^{4}}-2\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m-3 \right)=0\]

a) Có 4 phần tử.

b) Có 3 phần tử.

c) Có 2 phần tử.

d) Có 1 phần tử.

Bài viết gợi ý: