Khái niệm khối đa diện đều
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
● Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
● Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt.
Khối đa diện đều như vậy người ta gọi là khối đa diện đều loại {p;q}.
Nhận xét:
● Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.
Định lí.
Chỉ có đúng 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3} – tứ diện đều; loại {4;3} – khối lập phương; loại {3;4} – khối bát diện đều; loại {5;3} – khối 12 mặt đều; loại {3;5} – khối 20 mặt đều.
Tên gọi
Người ta gọi tên khối đa diện đều theo số mặt của chúng với cú pháp khối + số mặt + mặt đều.
.png)
Thay vì nhớ số Đỉnh, Cạnh, Mặt của khối đa diện đều như bảng dưới đây:
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
.png)
Các em có thể dùng cách ghi nhớ sau đây:
* Số mặt gắn liền với tên gọi là khối đa diện đều
* Hai đẳng thức liên quan đến số đỉnh, cạnh và mặt
● Tổng số đỉnh có thể có được tính theo 3 cách là qD = 2C = pM.
● Hệ thức euleur có D + M = C + 2.
Kí hiệu Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện đều
(1) Tứ diện đều loại {3;3} vậy M = 4 và 3Đ = 2C = 3M = 12
(2) Lập phương loại {4;3} có M = 6 và 3Đ = 2C = 4M = 24
(3) Bát diện đều loại {3;4} vậy M = 8 và 4Đ = 2C = 3M = 24
(4) 12 mặt đều (thập nhị đều) loại {5;3} vậy M = 12 và 3Đ = 2C = 5M = 60
(5) 20 mặt đều (nhị thập đều) loại {3;5} vậy M = 20 và 5Đ = 2C = 3M = 60
1. Khối đa diện đều loại {3;3} (khối tứ diện đều)
• Mỗi mặt là một tam giác đều
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt
• Có số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là D = 4, M = 4, C = 6.
• Diện tích tất cả các mặt của khối tứ diện đều cạnh \[a\] là \[S=4\left( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]
• Thể tích của khối tứ diện đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.\]
• Gồm 6 mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh); 3 trục đối xứng (đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện)
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \[R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\]
2. Khối đa diện đều loại {3;4} (khối bát diện đều hay khối tám mặt đều)
• Mỗi mặt là một tam giác đều
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt
• Có số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=6,M=8,C=12.\]
• Diện tích tất cả các mặt của khối bát diện đều cạnh \[a\] là \[S=2\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]
• Gồm 9 mặt phẳng đối xứng
• Thể tích khối bát diện đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.\]
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
3. Khối đa diện đều loại {4;3} (khối lập phương)
• Mỗi mặt là một hình vuông
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt
• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=8,M=6,C=12.\]
• Diện tích của tất cả các mặt khối lập phương là \[S=6{{a}^{2}}.\]
• Gồm 9 mặt phẳng đối xứng
• Thể tích khối lập phương cạnh \[a\] là \[V={{a}^{3}}.\]
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
4. Khối đa diện đều loại {5;3} (khối thập nhị diện đều hay khối 12 mặt đều)
• Mỗi mặt là một ngũ giác đều
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba mặt
• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=20,M=12,C=30.\]
• Diện tích của tất cả các mặt khối 12 mặt đều là \[S=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}{{a}^{2}}.\]
• Gồm 15 mặt phẳng đối xứng
• Thể tích khối 12 mặt đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{{{a}^{3}}\left( 15+7\sqrt{5} \right)}{4}.\]
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\left( \sqrt{15}+\sqrt{3} \right)}{4}.\]
5. Khối đa diện đều loại {3;5} (khối nhị thập diện đều hay khối hai mươi mặt đều)
• Mỗi mặt là một tam giác đều
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 mặt
• Số đỉnh (Đ); số mặt (M); số cạnh (C) lần lượt là \[D=12,M=20,C=30.\]
• Diện tích của tất cả các mặt khối 20 mặt đều là \[S=5\sqrt{3}{{a}^{2}}.\]
• Gồm 15 mặt phẳng đối xứng
• Thể tích khối 20 mặt đều cạnh \[a\] là \[V=\frac{5\left( 3+\sqrt{5} \right){{a}^{3}}}{12}.\]
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \[R=\frac{a\left( \sqrt{10}+2\sqrt{5} \right)}{4}.\]
