CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

Công thức tính nhanh 1: Cách xác định nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

                                    BC.IA→+CA.IB→+AB.IC→=0→BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}

Chuyển qua tọa độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh tọa độ điểm I như sau:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A(1;1;1), B(4;1;1), C(1;1;5)A\left( 1;1;1 \right),\,B\left( 4;1;1 \right),\,C\left( 1;1;5 \right). Tìm tọa độ điểm II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.

     A. I(−2;−1;−2).I\left( -2;-1;-2 \right).                              B. I(2;−1;2).I\left( 2;-1;2 \right).          C. I(2;1;2).I\left( 2;1;2 \right).     D. I(1;2;2).I\left( 1;2;2 \right).

Lời giải: Ta có BC=5, CA=4, AB=3BC=5,\,CA=4,\,AB=3. Do đó

Vậy I(2;1;2)   (C).I\left( 2;1;2 \right)\,\,\,\left( C \right).

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;2;1), B(−83;43;83)A\left( 2;2;1 \right),\,B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOBAOB và vuông góc với mặt phẳng (AOB)\left( AOB \right) có phương trình là 

     A. x+11=y−3−2=z+12.\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.                                  B. x+11=y−8−2=z−42.\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.

     C. x+131=y−53−2=z−1162.\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.           D. x+291=y−29−2=z+592.\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.

Lời giải chi tiết:

Ta có OA=3, OB=4, AB=5.OA=3,\,OB=4,\,AB=5.

Do đó tâm nội tiếp II của tam giác AOBAOB có tọa độ là

xI=3xB+4xA+5xO3+4+5=−8+8+012=0{{x}_{I}}=\frac{3{{x}_{B}}+4{{x}_{A}}+5{{x}_{O}}}{3+4+5}=\frac{-8+8+0}{12}=0

yI=3yB+4yA+5yO3+4+5=4+8+012=1{{y}_{I}}=\frac{3{{y}_{B}}+4{{y}_{A}}+5{{y}_{O}}}{3+4+5}=\frac{4+8+0}{12}=1

zI=3zB+4zA+5zO3+4+5=8+4+012=1{{z}_{I}}=\frac{3{{z}_{B}}+4{{z}_{A}}+5{{z}_{O}}}{3+4+5}=\frac{8+4+0}{12}=1

Véctơ chỉ phương của đường thẳng này là u→=[OA→,OB→]//(1;−2;2)\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]//\left( 1;-2;2 \right).

Do đó đường thẳng cần tìm là

qua điểm (−1;3;−1)\left( -1;3;-1 \right).

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Công thức tính nhanh 2: Xác định bán kính ngoại tiếp tam giác

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:

Ta biết được rằng

R=abc4S,R=\frac{abc}{4S},

trong  đó a, b, ca,\,b,\,c là độ dài ba cạnh tam giác và SS là diện tích tam giác.

Áp dụng trong hình tọa độ không gian OxyzOxyz, ta được

R=AB.BC.CA2∣[AB→,AC→]∣.R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.

trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(2;0;−1), B(1;−2;3), C(0;1;2)A\left( 2;0;-1 \right),\,B\left( 1;-2;3 \right),\,C\left( 0;1;2 \right). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.   

     A. 71110.\frac{7\sqrt{11}}{10}.                               B. 7115.\frac{7\sqrt{11}}{5}.          C. 11710.\frac{11\sqrt{7}}{10}.     D. 1175.\frac{11\sqrt{7}}{5}.

Lời giải:

Ta có AB=21, BC=11, CA=14, SABC=12∣[AB→,AC→]∣=532.AB=\sqrt{21},\,BC=\sqrt{11},\,CA=\sqrt{14},\,{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.

Vì vậy

R=AB.BC.CA4SABC=21.11.144.532=71110.R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.

Chọn đáp án A.

* Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả R≈2,3216375R\approx 2,3216375 lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được R2=539100⇒R=71110.{{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.

Công thức tính nhanh 3: Xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ

* Xét điểm M(x0;y0;z0)M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ Ox, Oy, OzOx,\,Oy,\,Oz lần lượt là A(x0;0;0), B(0;y0;0), C(0;0;z0)A\left( {{x}_{0}};0;0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),\,C\left( 0;0;{{z}_{0}} \right).

*  Xét điểm M(x0;y0;z0)M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặ phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right) lần lượt là A(x0;y0;0), B(0;y0;z0), C(x0;0;z0)A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\,C\left( {{x}_{0}};0;{{z}_{0}} \right).

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M(3;2;6)M\left( 3;2;6 \right) lên các trục tọa độ Ox, Oy, OzOx,\,Oy,\,Oz.

    Giải. Ta có A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;6)  ⇒ (ABC):x3+y2+z6=1A\left( 3;0;0 \right),\,B\left( 0;2;0 \right),\,C\left( 0;0;6 \right)\,\,\Rightarrow \,\left( ABC \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M(1;2;3)M\left( 1;2;3 \right) trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right).

Công thức tính nhanh 4: Xác định tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng

* Xét điểm M(x0;y0;z0)M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) và mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0\left( P \right):ax+by+cz+d=0.

Điểm N(x;y;z)N\left( x;y;z \right) đối xứng với MM qua mặt phẳng (P)\left( P \right) có tọa độ là nghiệm của hệ

* Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc a=0a=0 hoặc b=0b=0 hoặc c=0c=0 thì tương ứng x=x0x={{x}_{0}} hoặc y=y0y={{y}_{0}} hoặc z=z0z={{z}_{0}}.

. Tọa độ điểm N(x;y;z)N\left( x;y;z \right) là hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0)M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) và mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0\left( P \right):ax+by+cz+d=0 là

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng (P):2x−3y+5z−4=0\left( P \right):2x-3y+5z-4=0 và kí hiệu (Q)\left( Q \right) là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng (P)\left( P \right) qua mặt phẳng (Oxz)\left( Oxz \right). Hỏi phương trình của mặt phẳng (Q)\left( Q \right) là?

     A. (Q):2x+3y+5z−4=0\left( Q \right):2x+3y+5z-4=0.                B. (Q):2x+3y+5z+4=0\left( Q \right):2x+3y+5z+4=0.

     C. (Q):2x−3y+5z+4=0\left( Q \right):2x-3y+5z+4=0.                D. (Q):2x−3y+5z−4=0\left( Q \right):2x-3y+5z-4=0.

            Giải. Xét điểm M(x0;y0;z0)∈(P), N(x;y;z)M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( P \right),\,N\left( x;y;z \right) là điểm đối xứng của MM qua (Oxz)\left( Oxz \right), ta có

Thay vào phương trình của (P)\left( P \right), ta được: 2x−3(−y)+5z−4=0⇒(Q):2x+3y+5z−4=02x-3\left( -y \right)+5z-4=0\Rightarrow \left( Q \right):2x+3y+5z-4=0. Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y+3z+4=0\left( P \right):x+2y+3z+4=0. Biết M,NM,N là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng (P)\left( P \right) và MM thuộc mặt cầu (T):x2+(y+4)2+z2=5\left( T \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5. Hỏi điểm NN thuộc mặt cầu nào dưới đây? 

     A. (S):x2+y2+z2−87x+407y−247z+457=0.\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.

     B. (S):x2+y2+z2−87x−407y−247z+457=0.\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.

     C. (S):x2+y2+z2+87x+407y+247z+457=0.\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.

     D. (S):x2+y2+z2+87x−407y+247z+457=0.\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.

Công thức tính nhanh 5: Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau

a1x+b1y+c1z+d1a12+b12+c12=±a2x+b2y+c2z+d2a22+b22+c22.\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.

Công thức tính nhanh 6: Viết phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác

Xét tam giác ABCABC, khi đó đường phân giác trong góc AA có véctơ chỉ phương là

u→=1ABAB→+1ACAC→.\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.

Ngược lại, đường phân giác ngoài góc AA có véctơ chỉ phương là

u→=1ABAB→−1ACAC→.\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC với A(1;−2;1), B(−2;2;1), C(1;−2;2)A\left( 1;-2;1 \right),\,B\left( -2;2;1 \right),\,C\left( 1;-2;2 \right). Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác ABCABC cắt mặt phẳng (Oyz)\left( Oyz \right) tại điểm nào sau đây?

     A. (0;−43;83).\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).   B. (0;−23;43).\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).   C. (0;−23;83).\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).                            D. (0;23;−83).\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).

     Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là x

u→=1ABAB→+1ACAC→=1(−3)2+42+02(−3;4;0)+102+02+12(0;0;1)=(−35;45;1)\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}}\left( -3;4;0 \right)+\frac{1}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}\left( 0;0;1 \right)=\left( -\frac{3}{5};\frac{4}{5};1 \right)

Chọn đáp án C.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho Δ1:x−11=y−12=z−12; Δ2:x1=y+12=z−3−2{{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2};\,{{\Delta }_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2} cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (P)\left( P \right). Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng Δ1,Δ2{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} và nằm trong mặt phẳng (P)\left( P \right). 

Giải.

Tọa độ giao điểm  là nghiệm của hệ

Lấy B(2;3;3)∈Δ1, C(0;−1;3)∈Δ2B\left( 2;3;3 \right)\in {{\Delta }_{1}},\,C\left( 0;-1;3 \right)\in {{\Delta }_{2}} ta có

Do đó dd là phân giác ngoài góc AA, có véctơ chỉ phương

                        ud→=1ABAB→−1ACAC→=13(1;2;2)−13(−1;−2;2)=13(2;4;0)//(1;2;0)\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( 1;2;2 \right)-\frac{1}{3}\left( -1;-2;2 \right)=\frac{1}{3}\left( 2;4;0 \right)//\left( 1;2;0 \right)

Chọn đáp án D.

Công thức tính nhanh 7: Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng d1,d2{{d}_{1}},{{d}_{2}} cắt nhau tại điểm A(x0;y0;z0)A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) và có véctơ chỉ phương lần lượt là u1→(a1;b1;c1), u2→(a2;b2;c2)\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right).

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

u→=1∣u1∣.u1→±1∣u2∣.u2→=1a12+b12+c12(a1;b1;c1)±1a22+b22+c22(a2;b2;c2)\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right).

Chi tiết có hai phân giác:

   * Nếu u1→u2→>0⇒u→=1∣u1∣.u1→+1∣u2∣.u2→\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và u→=1∣u1∣.u1→−1∣u2∣.u2→\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

   * Nếu u1→u2→>0⇒u→=1∣u1∣.u1→+1∣u2∣.u2→\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và u→=1∣u1∣.u1→−1∣u2∣.u2→\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng Δ\Delta là phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1,d2{{d}_{1}},{{d}_{2}}.

     A. x−17=y−1−11=z+15.\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.                                 B. x−1−2=y−11=z+15.\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{5}.       

     C. x−1−2=y−11=z+11.\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}.                                   D. x−17=y−1−11=z+11.\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{1}.

Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1;1;−1)A\left( 1;1;-1 \right). Có véctơ chỉ phương lần lượt là u1→(1;−2;2), u2→(3;−4;0)⇒u1→u2→=3+8=9>0.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-2;2 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 3;-4;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

u→=1∣u1→∣.u1→+1∣u2→∣.u2→=13(1;−2;2)+15(3;−4;0)=(1415;−2215;23)//(\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//( (???)

Vậy đường thẳng cần tìm là x−17=y−1−11=z+15.\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.

Chọn đáp án A.

Câu 2: Trong không gian OxyzOxyz, cho đường thẳng Gọi Δ\Delta là đường thẳng đi qua điểm A(1;1;1)A\left( 1;1;1 \right) và có véctơ chỉ phương u→(−2;1;2)\overrightarrow{u}\left( -2;1;2 \right). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi dd và  Δ\Delta có phương trình là

Lời giải chi tiết: Có A(1;1;1)=d⋂ΔA\left( 1;1;1 \right)=d\bigcap \Delta . Đường thẳng dd có véctơ chỉ phương u1→(3;4;0)\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 3;4;0 \right). Đường thẳng Δ\Delta có véctơ chỉ phương u2→(−2;1;2)\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -2;1;2 \right). Có u1→u2→=−6+4=−2<0⇒(u1→,u2→)>90∘\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\Rightarrow \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)>90{}^\circ .

Do đó phân giác của góc nhọn dd và Δ\Delta sẽ đi qua A và có véctơ chỉ phương u→=1∣u1→∣u1→−1∣u2→∣u2→=15(3;4;0)−13(−2;1;2)=(1915;715;−23)//(19;7;−10).\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//\left( 19;7;-10 \right).

Đối chiếu các đáp án chọn D.

 

Bài viết gợi ý:

1. Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai

2. Mở đầu về số phức.

3. Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

4. Chuyên đề: Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế.

5. Sự tương giao của đồ thị hàm số

6. Hàm số lũy thừa (Mức độ 1,2)

7. Chuyên đề: Hệ trục tọa độ trong không gian.