Công thức tính nhanh các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

Công thức tính nhanh 1: Cách xác định nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

$BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Chuyển qua tọa độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh tọa độ điểm I như sau:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh $A\left( 1;1;1 \right),\,B\left( 4;1;1 \right),\,C\left( 1;1;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

A. $I\left( -2;-1;-2 \right).$ B. $I\left( 2;-1;2 \right).$ C. $I\left( 2;1;2 \right).$ D. $I\left( 1;2;2 \right).$

Lời giải: Ta có $BC=5,\,CA=4,\,AB=3$. Do đó

Vậy $I\left( 2;1;2 \right)\,\,\,\left( C \right).$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;2;1 \right),\,B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( AOB \right)$ có phương trình là

A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.$ B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.$

C. $\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.$ D. $\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $OA=3,\,OB=4,\,AB=5.$

Do đó tâm nội tiếp $I$ của tam giác $AOB$ có tọa độ là

${{x}_{I}}=\frac{3{{x}_{B}}+4{{x}_{A}}+5{{x}_{O}}}{3+4+5}=\frac{-8+8+0}{12}=0$

${{y}_{I}}=\frac{3{{y}_{B}}+4{{y}_{A}}+5{{y}_{O}}}{3+4+5}=\frac{4+8+0}{12}=1$

${{z}_{I}}=\frac{3{{z}_{B}}+4{{z}_{A}}+5{{z}_{O}}}{3+4+5}=\frac{8+4+0}{12}=1$

Véctơ chỉ phương của đường thẳng này là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]//\left( 1;-2;2 \right)$.

Do đó đường thẳng cần tìm là

qua điểm $\left( -1;3;-1 \right)$.

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Công thức tính nhanh 2: Xác định bán kính ngoại tiếp tam giác

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:

Ta biết được rằng

$R=\frac{abc}{4S},$

trong đó $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác.

Áp dụng trong hình tọa độ không gian $Oxyz$, ta được

$R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.$

trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;0;-1 \right),\,B\left( 1;-2;3 \right),\,C\left( 0;1;2 \right)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$ C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$ D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$

Lời giải:

Ta có $AB=\sqrt{21},\,BC=\sqrt{11},\,CA=\sqrt{14},\,{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Vì vậy

$R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

Chọn đáp án A.

* Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

Công thức tính nhanh 3: Xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ

* Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};0;0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),\,C\left( 0;0;{{z}_{0}} \right)$.

* Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặ phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\,C\left( {{x}_{0}};0;{{z}_{0}} \right)$.

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 3;2;6 \right)$ lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$.

Giải. Ta có $A\left( 3;0;0 \right),\,B\left( 0;2;0 \right),\,C\left( 0;0;6 \right)\,\,\Rightarrow \,\left( ABC \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1$.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;2;3 \right)$ trên các mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$.

Công thức tính nhanh 4: Xác định tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng

* Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$.

Điểm $N\left( x;y;z \right)$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là nghiệm của hệ

* Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $c=0$ thì tương ứng $x={{x}_{0}}$ hoặc $y={{y}_{0}}$ hoặc $z={{z}_{0}}$.

. Tọa độ điểm $N\left( x;y;z \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ là

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $\left( P \right)$ qua mặt phẳng $\left( Oxz \right)$. Hỏi phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là?

A. $\left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$. B. $\left( Q \right):2x+3y+5z+4=0$.

C. $\left( Q \right):2x-3y+5z+4=0$. D. $\left( Q \right):2x-3y+5z-4=0$.

Giải. Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( P \right),\,N\left( x;y;z \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $\left( Oxz \right)$, ta có

Thay vào phương trình của $\left( P \right)$, ta được: $2x-3\left( -y \right)+5z-4=0\Rightarrow \left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$. Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z+4=0$. Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $\left( P \right)$ và $M$ thuộc mặt cầu $\left( T \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$. Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây?

A. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

B. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

C. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

D. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

Công thức tính nhanh 5: Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau

$\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.$

Công thức tính nhanh 6: Viết phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác

Xét tam giác $ABC$, khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$

Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;-2;1 \right),\,B\left( -2;2;1 \right),\,C\left( 1;-2;2 \right)$. Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ tại điểm nào sau đây?

A. $\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$ B. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$ C. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).$ D. $\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).$

Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là x

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}}\left( -3;4;0 \right)+\frac{1}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}\left( 0;0;1 \right)=\left( -\frac{3}{5};\frac{4}{5};1 \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2};\,{{\Delta }_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}$ cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Giải.

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Lấy $B\left( 2;3;3 \right)\in {{\Delta }_{1}},\,C\left( 0;-1;3 \right)\in {{\Delta }_{2}}$ ta có

Do đó $d$ là phân giác ngoài góc $A$, có véctơ chỉ phương

$\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( 1;2;2 \right)-\frac{1}{3}\left( -1;-2;2 \right)=\frac{1}{3}\left( 2;4;0 \right)//\left( 1;2;0 \right)$

Chọn đáp án D.

Công thức tính nhanh 7: Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$.

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$.

Chi tiết có hai phân giác:

* Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

* Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.

A. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$ B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{5}.$

C. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}.$ D. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{1}.$

Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A\left( 1;1;-1 \right)$. Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-2;2 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 3;-4;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//($ (???)

Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( -2;1;2 \right)$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $\Delta $ có phương trình là

Lời giải chi tiết: Có $A\left( 1;1;1 \right)=d\bigcap \Delta $. Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 3;4;0 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -2;1;2 \right)$. Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\Rightarrow \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)>90{}^\circ $.

Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua A và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//\left( 19;7;-10 \right).$

Đối chiếu các đáp án chọn D.