Chuyên đề: Hệ trục tọa độ trong không gian.

Chuyên đề: Hệ tọa độ trong không gian.

A. Lý thuyết.

I. Hệ trục tọa độ trong không gian.

Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Các vevtơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{j}$.
Ký hiệu hệ trục tọa độ: Oxyz, (O, $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{k}$).
Chú ý: + ${{\vec{i}}^{2}}$=${{\vec{k}}^{2}}$=${{\vec{j}}^{2}}$.

+ $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$.

II. Tọa độ của vectơ.

$\overrightarrow{u}(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$. Trong đó $\overrightarrow{i}(1;0;0)$, $\overrightarrow{j}(0;1;0)$, $\overrightarrow{k}(0;0;1)$.
Cho các vectơ $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ và số k tùy ý, ta có:
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}},{{y}_{1}}={{y}_{2}},{{z}_{1}}={{z}_{2}}$.
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}},{{y}_{1}}={{y}_{2}},{{z}_{1}}={{z}_{2}}$.
k$\overrightarrow{{{u}_{1}}}$=(k${{x}_{1}}$;k${{y}_{1}}$;k${{z}_{1}}$).
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}$.
$\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{{{u}_{1}}}}^{2}}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$.
cos($\overrightarrow{{{u}_{1}}}$,$\overrightarrow{{{u}_{2}}}$) =$\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}$ với $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$≠ 0; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$≠ 0.
\[\overrightarrow{{{u}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\].
III. Tọa độ của điểm.
Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi vectơ $\overrightarrow{OM}$.
Nên M(x; y; z)$\Leftrightarrow $ $\overrightarrow{OM}$=$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.
IV. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút.
$\overrightarrow{AB}$=(${{x}_{B}}-{{x}_{A}}$; ${{y}_{B}}-{{y}_{A}}$; ${{z}_{B}}-{{z}_{A}}$).
AB=$\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}$.
V. Tích có hướng của hai vectơ.
Định nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ $\vec{u}$(a;b;c) và \[\vec{v}\](a’,b’,c’) là một vectơ, kí hiệu là [$\vec{u}$,\[\vec{v}\]] (hoặc $\vec{u}$\[\wedge \]\[\vec{v}\]), được xác định bằng tọa độ như sau:

Tính chất của tích có hướng:
Vectơ [$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$] vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$,tức là: [$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{u}$=[$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{v}$=0.
$\left| \left[ \vec{u},\vec{v} \right] \right|$=$\left| \overrightarrow{u} \right|$.$\left| \overrightarrow{v} \right|$.sin($\left| \overrightarrow{u} \right|$,$\left| \overrightarrow{v} \right|$).
[$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$]=$\overrightarrow{0}$\[\Leftrightarrow \]$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ cùng phương.
$\overrightarrow{u}$\[\bot \]$\overrightarrow{v}$\[\Leftrightarrow \]$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$= 0.
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ đồng phẳng \[\Leftrightarrow \][$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{\text{w}}$=0.
Ứng dụng của tích có hướng:

Tính diện tích hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD thì

S=$\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|$

Tính diện tích tam giác: Cho $\vartriangle ABC$, S=$\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|$.
Tính thể tích khối hộp: V=\[\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AA'} \right|\].
Tính thể tích tứ diện ABCD, V=$\frac{1}{6}$.\[\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AA'} \right|\].
VI. Phương trình mặt cầu.
Mặt cầu tâm I(${{x}_{0}}$;${{y}_{0}}$;${{z}_{0}}$), bán kính R có phương trình: ${{(x-{{x}_{0}})}^{2}}$+${{(y-{{y}_{0}})}^{2}}$+${{(z-{{z}_{0}})}^{2}}$=${{R}^{2}}$.
Phương trình ${{x}^{2}}$+${{y}^{2}}$+\[{{z}^{2}}\]+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>d\]. Khi đó tâm là I (-a; -b; -c) và R=\[\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}\].

B. Bài tập.

I. Bài tập minh họa.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{u}$đối với hệ tọa dộ Oxyz là

A. (2;-3;2) B. (3;2;2) C. (2;2;3) D. (2;3;2)

Lời giải: Chon đáp án A.

Vì $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vevtơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Nên hệ số trước các vectơ đơn vị lần lượt là tọa độ của $\overrightarrow{u}$.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}$(x;1;2), $\overrightarrow{b}$(2;1;1), $\overrightarrow{c}$(3;2;2), P=${{\left( \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right| \right)}^{2}}$. P đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. x=2 B. x=$\frac{5}{2}$ C. x=1 D. x=3

Lời giải: Chọn đáp án B.

Cách 1: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (x-2;0;1), $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$= (x-3;-1;0).

P=${{\left( x-2 \right)}^{2}}$+1+${{\left( x-3 \right)}^{2}}$+1=$2{{\text{x}}^{2}}$-10x+15=${{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}$. Nên ${{P}_{\min }}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$.

Cách 2: Thử đáp án ta thấy x=$\frac{5}{2}$làm P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(1; 2; 1) và $P=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|$, trong đó M là 1 điểm thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm M để P đạt giá trị nhỏ nhất.

A. (-1; 1; 0) B.(0; 2; 1) C. (1; 2; 2) D. (1; 2; 0)

Lời giải: Chọn đáp án D.

Cách 1: Gọi M (x;y;0) thuộc mặt phẳng (Oxy). Ta có: $\overrightarrow{MA}$(1-x; 2-y; 3) và $\overrightarrow{MB}$(1-x; 2-y; 1). Nên$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left( 2-2\text{x};4-2y;4 \right)$\[\Rightarrow P=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\sqrt{{{\left( 2-2x \right)}^{2}}+{{\left( 4-2y \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}\ge 4\]. \[\Rightarrow {{P}_{\min }}=4\Leftrightarrow \]x=1; y=2.

Cách 2: Thử lần lượt các đáp án thấy đáp án D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1;2;0), B(0;1;5), C(2;0;1). \[P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\], trong đó M là điểm nằm trên mặt (Oyz). P đạt giá trị nhỏ nhất khi M có tọa độ là:

A. M(0; 2; -1) B. M(0; 1; 3) C. M(2; 1; 2) D. M(0; 1; 2)

Lời giải: Chọn đáp án D.

Gọi M(0; y; z). Khi đó:

\[P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\]=\[{{1}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\]

=$3{{y}^{2}}$-6y+$3{{z}^{2}}$-12z+36=$3{{\left( y-1 \right)}^{2}}+3{{\left( z-2 \right)}^{2}}+21\ge 21$.

$\Rightarrow {{P}_{\min }}=21\Leftrightarrow y=1$ và z=2. Vậy M(0; 1; 2).

Câu 5: Cho tam giác ABC, biết A(1; 1; 1), B(5; 1; 4), C(7; 9; 1). Tính độ dài phân giác trong AD của góc A.

A. $\frac{2\sqrt{74}}{3}$ B. $\frac{3\sqrt{74}}{3}$ C. $2\sqrt{74}$ D. $3\sqrt{74}$

Lời giải: Chọn đáp án A.

Gọi D(x; y; z) \[\Rightarrow \overrightarrow{DB}(5-x;1-y;4-z)\] và \[\overrightarrow{DC}(7-x;9-y;1-z)\]. Theo tính chất đường phân giác $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=2\Rightarrow \overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}\Rightarrow $ (7-x; 9-y; 1-z)= -2(5-x; 1-y; 4-z).

$\Rightarrow x=\frac{17}{3};y=\frac{11}{3};z=\frac{5}{3}\Rightarrow D\left( \frac{17}{3};\frac{11}{3};3 \right)\Rightarrow $ AD=\[\left| \overrightarrow{A\text{D}} \right|=\frac{2\sqrt{74}}{3}\].

Câu 6: Cho mặt cầu (S) có phương trình: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}$=25. Phát biểu nào sau đây là sai:

A. Tâm của mặt cầu là I(3; -1; 1).

B. Bán kính của mặt cầu là R=25.

C.Mặt cầu có tâm I(3; -1; 1) và bán kính R=5.

D. Mặt cầu đi qua điểm A(3; 4; 1).

Lời giải: Chọn đáp án B.

Vì theo phương trình mặt cầu $\Rightarrow {{R}^{2}}=25\Leftrightarrow R=5$.

Câu 7: Cho các điểm A(-1; 3; 5), B(-4; 3; 2), C(0; 2; 1). Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. I$\left( \frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{8}{3} \right)$ B. I$\left( \frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$ C. I$\left( -\frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$ D. I$\left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{5}{3} \right)$

Lời giải: Chọn đáp án C.

Cách 1:Nhìn qua nhiều bạn sẽ gọi tọa độ điểm I(x; y; z). Rồi giải hệ IA=IB=IC và điều kiện để I thuộc mặt phẳng (ABC). Tuy nhiên, nếu tinh ý, chúng ta thấy AB=AC=BC=$3\sqrt{2}$. Nên tam giác ABC đều. Nên tâm ngoại tiếp của tam giác cũng là trọng tâm.

Suy ra I$\left( -\frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$.

Cách 2: Thử từng đáp án thấy chỉ có đáp án C làm IA=IB=IC.

Câu 8: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$(3; -2; 4), $\overrightarrow{b}$(5; 1;6), $\overrightarrow{c}$(-3; 0; 2). Tìm vectơ $\overrightarrow{x}$ sao cho $\overrightarrow{x}$ đồng thời vuông góc với $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$.

A. (1; 0;0) B. (0;0;1) C. (0;1;0) D. (0;0;0).

Lời giải: Chọn đáp án D. Vì Ta luôn có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{x}=0$.

II. Bài tập tự luyện.

Câu 1: Cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\vec{i}+\vec{k}+2\vec{j}$. Khi đó độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ là

A. 5 B. 3 C. $\sqrt{3}$ D. 9

Câu 2: Cho vectơ $\overrightarrow{u}$(-2;1;3) và $\overrightarrow{v}$(1;1;0). Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\text{w}}$=2$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{v}$ là

A. (-1;5;6) B. (-1;1;6) C. (9;6;8) D. (1;2;3)

Câu 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;4). Nếu ABCD là hình bình hành thì tọa độ của điểm D là

A. (1;1;1) B. (9;3;4) C. (2;3;4) D. (1;5;7)

Câu 4: Cho các điểm A(1;1;2), B(3;1;4), C(0;2;3), D(2;2;5). Cho các phát biểu sau:

1.Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BCD.

2. Các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

3. Hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng đi qua hai điểm A, C có tọa độ (1;2;1).

4. Trung điểm của AD trùng với trung điểm BC.

Số các phát biểu đúng là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 5: Cho A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. (-2;5;0) B. (1;2;3) C. (1;-1;6) D. (0;0;2)

Câu 6: Cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1). Biết M(x;y;z), để $\text{M}{{\text{A}}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{\text{D}}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất thì x+y+z bằng.

A. 7 B. 8 C. 9 D. 6

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết ${{V}_{ABC\text{D}}}=5$ và có hai điểm ${{D}_{1}}$(0;${{y}_{1}}$;0), ${{D}_{2}}$(0;${{y}_{2}}$;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó ${{y}_{1}}$+${{y}_{2}}$bằng

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, biết A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ B. $\frac{1}{\sqrt{13}}$ C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Câu 9: Cho chóp SABCD có A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH$\bot $ (ABCD). Để khối chóp SABCD có thể tích bằng $\frac{27}{2}$ thì có hai điểm ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ thỏa mãn. Tìm tọa độ trung điểm ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$

A.(0;-1;-3) B. (1;0;3) C. (0;1;3) D. (-1;0;-3)