Chuyên đề: Hệ tọa độ trong không gian.

A. Lý thuyết.

I. Hệ trục tọa độ trong không gian.

  • Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
  • Các vevtơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{j}$.
  • Ký hiệu hệ trục tọa độ: Oxyz, (O, $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{k}$).
  • Chú ý: + ${{\vec{i}}^{2}}$=${{\vec{k}}^{2}}$=${{\vec{j}}^{2}}$.

                           + $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$.

II. Tọa độ của vectơ.

  • $\overrightarrow{u}(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$. Trong đó $\overrightarrow{i}(1;0;0)$, $\overrightarrow{j}(0;1;0)$, $\overrightarrow{k}(0;0;1)$.
  • Cho các vectơ $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ và số k tùy ý, ta có:
  • $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}},{{y}_{1}}={{y}_{2}},{{z}_{1}}={{z}_{2}}$.
  • $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}},{{y}_{1}}={{y}_{2}},{{z}_{1}}={{z}_{2}}$.
  • k$\overrightarrow{{{u}_{1}}}$=(k${{x}_{1}}$;k${{y}_{1}}$;k${{z}_{1}}$).
  • $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}$.
  • $\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{{{u}_{1}}}}^{2}}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$.
  • cos($\overrightarrow{{{u}_{1}}}$,$\overrightarrow{{{u}_{2}}}$) =$\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}$ với $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$≠ 0; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$≠ 0.
  • \[\overrightarrow{{{u}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\].

    III. Tọa độ của điểm.

  • Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi vectơ $\overrightarrow{OM}$.
  • Nên M(x; y; z)$\Leftrightarrow $ $\overrightarrow{OM}$=$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.
  • IV. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút.

  • $\overrightarrow{AB}$=(${{x}_{B}}-{{x}_{A}}$; ${{y}_{B}}-{{y}_{A}}$; ${{z}_{B}}-{{z}_{A}}$).
  • AB=$\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}$.

    V. Tích có hướng của hai vectơ.

  • Định nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ  $\vec{u}$(a;b;c) và  \[\vec{v}\](a’,b’,c’) là một vectơ, kí hiệu là [$\vec{u}$,\[\vec{v}\]] (hoặc $\vec{u}$\[\wedge \]\[\vec{v}\]), được xác định bằng tọa độ như sau:

  • Tính chất của tích có hướng:
  • Vectơ [$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$] vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$,tức là: [$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{u}$=[$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{v}$=0.
  • $\left| \left[ \vec{u},\vec{v} \right] \right|$=$\left| \overrightarrow{u} \right|$.$\left| \overrightarrow{v} \right|$.sin($\left| \overrightarrow{u} \right|$,$\left| \overrightarrow{v} \right|$).
  • [$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$]=$\overrightarrow{0}$\[\Leftrightarrow \]$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ cùng phương.
  • $\overrightarrow{u}$\[\bot \]$\overrightarrow{v}$\[\Leftrightarrow \]$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$= 0.
  • $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ đồng phẳng \[\Leftrightarrow \][$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$].$\overrightarrow{\text{w}}$=0.
  • Ứng dụng của tích có hướng:

  • Tính diện tích hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD thì

          S=$\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|$

  • Tính diện tích tam giác: Cho $\vartriangle ABC$, S=$\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|$.
  • Tính thể tích khối hộp: V=\[\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AA'} \right|\].
  • Tính thể tích tứ diện ABCD, V=$\frac{1}{6}$.\[\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AA'} \right|\]. 

    VI. Phương trình mặt cầu.

  • Mặt cầu tâm I(${{x}_{0}}$;${{y}_{0}}$;${{z}_{0}}$), bán kính R có phương trình: ${{(x-{{x}_{0}})}^{2}}$+${{(y-{{y}_{0}})}^{2}}$+${{(z-{{z}_{0}})}^{2}}$=${{R}^{2}}$.
  • Phương trình ${{x}^{2}}$+${{y}^{2}}$+\[{{z}^{2}}\]+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>d\]. Khi đó tâm là I (-a; -b; -c) và R=\[\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}\].

B. Bài tập.

I. Bài tập minh họa.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{u}$đối với hệ tọa dộ Oxyz là

                   A. (2;-3;2)            B. (3;2;2)             C. (2;2;3)             D. (2;3;2)

 

Lời giải: Chon đáp án A.

Vì $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vevtơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Nên hệ số trước các vectơ đơn vị lần lượt là tọa độ của $\overrightarrow{u}$.

 

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}$(x;1;2), $\overrightarrow{b}$(2;1;1), $\overrightarrow{c}$(3;2;2), P=${{\left( \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right| \right)}^{2}}$. P đạt giá trị nhỏ nhất khi

                   A. x=2                  B. x=$\frac{5}{2}$                         C. x=1                   D. x=3

             

Lời giải: Chọn đáp án B.

Cách 1: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (x-2;0;1), $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$= (x-3;-1;0).

P=${{\left( x-2 \right)}^{2}}$+1+${{\left( x-3 \right)}^{2}}$+1=$2{{\text{x}}^{2}}$-10x+15=${{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}$. Nên ${{P}_{\min }}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$.

Cách 2: Thử đáp án ta thấy x=$\frac{5}{2}$làm P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(1; 2; 1) và $P=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|$, trong đó M là 1 điểm thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm M để P đạt giá trị nhỏ nhất.

                   A. (-1; 1; 0)          B.(0; 2; 1)            C. (1; 2; 2)           D. (1; 2; 0)

 

Lời giải: Chọn đáp án D.

 Cách 1: Gọi M (x;y;0) thuộc mặt phẳng (Oxy). Ta có: $\overrightarrow{MA}$(1-x; 2-y; 3) và $\overrightarrow{MB}$(1-x; 2-y; 1). Nên$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left( 2-2\text{x};4-2y;4 \right)$\[\Rightarrow P=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\sqrt{{{\left( 2-2x \right)}^{2}}+{{\left( 4-2y \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}\ge 4\]. \[\Rightarrow {{P}_{\min }}=4\Leftrightarrow \]x=1; y=2.

Cách 2: Thử lần lượt các đáp án thấy đáp án D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1;2;0), B(0;1;5), C(2;0;1). \[P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\], trong đó M là điểm nằm trên mặt (Oyz). P đạt giá trị nhỏ nhất khi M có tọa độ là:

                   A. M(0; 2; -1)      B. M(0; 1; 3)       C. M(2; 1; 2)       D. M(0; 1; 2)

 

Lời giải: Chọn đáp án D.

Gọi M(0; y; z). Khi đó:

\[P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\]=\[{{1}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\]

=$3{{y}^{2}}$-6y+$3{{z}^{2}}$-12z+36=$3{{\left( y-1 \right)}^{2}}+3{{\left( z-2 \right)}^{2}}+21\ge 21$.

$\Rightarrow {{P}_{\min }}=21\Leftrightarrow y=1$ và z=2. Vậy M(0; 1; 2).

Câu 5: Cho tam giác ABC, biết A(1; 1; 1), B(5; 1; 4), C(7; 9; 1). Tính độ dài phân giác trong AD của góc A.

                   A. $\frac{2\sqrt{74}}{3}$         B. $\frac{3\sqrt{74}}{3}$         C. $2\sqrt{74}$           D. $3\sqrt{74}$

 

Lời giải: Chọn đáp án A.

Gọi D(x; y; z) \[\Rightarrow \overrightarrow{DB}(5-x;1-y;4-z)\] và \[\overrightarrow{DC}(7-x;9-y;1-z)\]. Theo tính chất đường phân giác $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=2\Rightarrow \overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DB}\Rightarrow $ (7-x; 9-y; 1-z)= -2(5-x; 1-y; 4-z).

$\Rightarrow x=\frac{17}{3};y=\frac{11}{3};z=\frac{5}{3}\Rightarrow D\left( \frac{17}{3};\frac{11}{3};3 \right)\Rightarrow $ AD=\[\left| \overrightarrow{A\text{D}} \right|=\frac{2\sqrt{74}}{3}\].

Câu 6: Cho mặt cầu (S) có phương trình: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}$=25. Phát biểu nào sau đây là sai:

A. Tâm của mặt cầu là I(3; -1; 1).

B. Bán kính của mặt cầu là R=25.

C.Mặt cầu có tâm I(3; -1; 1) và bán kính R=5.

D. Mặt cầu đi qua điểm A(3; 4; 1).

 

Lời giải: Chọn đáp án B.

Vì theo phương trình mặt cầu $\Rightarrow {{R}^{2}}=25\Leftrightarrow R=5$.

 

Câu 7: Cho các điểm A(-1; 3; 5), B(-4; 3; 2), C(0; 2; 1). Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

              A. I$\left( \frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{8}{3} \right)$              B. I$\left( \frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$              C. I$\left( -\frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$              D. I$\left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{5}{3} \right)$

 

Lời giải: Chọn đáp án C.

Cách 1:Nhìn qua nhiều bạn sẽ gọi tọa độ điểm I(x; y; z). Rồi giải hệ IA=IB=IC và điều kiện để I thuộc mặt phẳng (ABC). Tuy nhiên, nếu tinh ý, chúng ta thấy AB=AC=BC=$3\sqrt{2}$. Nên tam giác ABC đều. Nên tâm ngoại tiếp của tam giác cũng là trọng tâm.

 Suy ra I$\left( -\frac{5}{3};\frac{8}{3};\frac{8}{3} \right)$.

Cách 2: Thử từng đáp án thấy chỉ có đáp án C làm IA=IB=IC.

Câu 8: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$(3; -2; 4), $\overrightarrow{b}$(5; 1;6), $\overrightarrow{c}$(-3; 0; 2). Tìm vectơ $\overrightarrow{x}$ sao cho $\overrightarrow{x}$ đồng thời vuông góc với $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$.

                   A. (1; 0;0)            B. (0;0;1)             C. (0;1;0)             D. (0;0;0).

$$

 Lời giải: Chọn đáp án D. Vì Ta luôn có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{x}=0$.

 

II. Bài tập tự luyện.

Câu 1: Cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\vec{i}+\vec{k}+2\vec{j}$. Khi đó độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ là

                   A. 5                     B. 3                      C. $\sqrt{3}$      D. 9

Câu 2: Cho vectơ $\overrightarrow{u}$(-2;1;3) và $\overrightarrow{v}$(1;1;0). Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\text{w}}$=2$\overrightarrow{u}$+3$\overrightarrow{v}$ là

                   A. (-1;5;6)           B. (-1;1;6)            C. (9;6;8)             D. (1;2;3)

Câu 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;4). Nếu ABCD là hình bình hành thì tọa độ của đim D là

                   A.  (1;1;1)            B. (9;3;4)             C. (2;3;4)             D. (1;5;7)

Câu 4: Cho các điểm A(1;1;2), B(3;1;4), C(0;2;3), D(2;2;5). Cho các phát biểu sau:

1.Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BCD.

2. Các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

3. Hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng đi qua hai điểm A, C có tọa độ (1;2;1).

4. Trung điểm của AD trùng với trung điểm BC.

Số các phát biểu đúng là:

                   A. 1                     B. 2                      C. 3                      D. 4

Câu 5: Cho A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

                   A. (-2;5;0)           B. (1;2;3)             C. (1;-1;6)            D. (0;0;2)

Câu 6: Cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1). Biết M(x;y;z), để $\text{M}{{\text{A}}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{\text{D}}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất thì x+y+z bằng.

                   A. 7                     B. 8                      C. 9                      D. 6

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết ${{V}_{ABC\text{D}}}=5$ và có hai điểm ${{D}_{1}}$(0;${{y}_{1}}$;0), ${{D}_{2}}$(0;${{y}_{2}}$;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó ${{y}_{1}}$+${{y}_{2}}$bằng

                   A. 0                     B. 1                      C. 2                      D. 3

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, biết A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng

                   A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$               B. $\frac{1}{\sqrt{13}}$        C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$           D. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Câu 9: Cho chóp SABCD có A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH$\bot $ (ABCD). Để khối chóp SABCD có thể tích bằng $\frac{27}{2}$ thì có hai điểm ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ thỏa mãn. Tìm tọa độ trung điểm ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$

                   A.(0;-1;-3)           B. (1;0;3)             C. (0;1;3)             D. (-1;0;-3)

Câu  10: Cho điểm A(2;2;2), B(0;2;4) và mặt cầu (S): ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$-2x-4y=0. Gọi I là tâm mặt cầu.Chọn phát biểu sai.

A. Hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng đi qua A, B trùng với trung điểm AB.

B. Điểm A và B cùng thuộc mặt cầu (S).

C. Tam giác IAB cân tại B.

D. Tam giác IAB cân tại I.

                                                                               Đáp án bài tập tự lưyện:

Bài viết gợi ý: