A. Lý thuyết
I. Phương trình mũ cơ bản
- Với \[0
- Với \[0
II. Một số phương pháp giải phương trình mũ cơ bản
1.Phương pháp đưa về cùng cơ số
Cơ sở: Với \[0
\[{{a}^{f\left( x \right)}}=b\]\[{{a}^{f\left( x \right)}}={{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)\]
Ví dụ 1. Giải phương trình:
\[{{81}^{3x+2}}={{27}^{6x-3}}\]
A. \[x=\frac{17}{3}\] B. \[x=3\] C.\[x=\frac{17}{6}\] D.\[x=4\]
Giải. Ta có:
.png)
Ví dụ 2. Giải phương trình:
\[{{4}^{x}}-{{3}^{x-0,5}}={{3}^{x+0,5}}-{{2}^{2x-1}}\]
A. \[x=\frac{3}{2}\] B. \[x=1\] C.\[x=\frac{1}{2}\] D.\[x=2\]
Giải. Ta có:
.png)
2. Phương pháp đặt ẩn phụ\[\]
Ví dụ 1. Giải phương trình:
\[{{3}^{2x+5}}={{3}^{x+2}}+2\]
A. \[x=\frac{3}{2}\] B. \[x=0\] C.\[x=\frac{1}{2}\] D.\[x=1\]
Giải. Ta có:
.png)
Ví dụ 2. Giải phương trình:
\[{{5.2}^{4x+2}}-{{2}^{2x+3}}={{3}^{2x+1}}\]
A. \[x=-\frac{1}{2}\] B. \[x=-1\] C.\[x=\frac{1}{2}\] D.\[x=1\]
Giải. Ta có:
.png)
3. Phương pháp Logarit hóa
Cơ sở: Với \[0
.png)
Ví dụ. Giải phương trình:
\[{{2}^{x-1}}={{3}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\]
A. \[x\in \left\{ 1+{{\log }_{3}}2 \right\}\] B. \[x\in \left\{ 1+{{\log }_{3}}2;1 \right\}\]
C.\[x\in \left\{ 1+{{\log }_{2}}3 \right\}\] D.\[x\in \left\{ 1+{{\log }_{2}}3;1 \right\}\]
Giải. Ta có:
.png)
4.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cơ sở 1: Nếu \[y=f\left( x \right)\] là hàm số đơn điệu trên I\[\to \]\[f(x)=k\] có tối đa 1 nghiệm trên I
Ví dụ trong trường hợp \[y=f\left( x \right)\] đồng biến trên I có nhận xét:
Với \[x={{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)=f({{x}_{0}})=k\Rightarrow x={{x}_{0}}\] là nghiệm của \[f(x)=k\]
Với \[x>{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)>f({{x}_{0}})=k\Rightarrow \] \[f(x)=k\] vô nghiệm
Với \[x<{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)
Vậy \[x={{x}_{0}}\] là nghiệm của \[f(x)=k\]
Cơ sở 2: Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] đồng biến trên I, hàm số \[y=g\left( x \right)\] nghịch biến trên I hoặc là hàm hằng→\[f(x)=g\left( x \right)\] có tối đa 1 nghiệm trên I
Cơ sở 3: Nếu \[y=f\left( x \right)\] đơn điệu trên I và \[u,v\in I\] thì →\[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v\]
Ví dụ 1. Số nghiệm thực của phương trình là:
\[{{5}^{x}}-{{4}^{\text{x}}}=1\]
A. \[x=3\] B. \[x=0\] C.\[x=2\] D.\[x=1\]
Giải. Ta có:
.png)
Xét \[y=\frac{1}{{{5}^{x}}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\] là hàm số nghịch biến và y=1 là hàm hằng
→ Phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm
Ta thấy x=1 là nghiệm của (1) → x=1 là nghiệm duy nhất của (1)→D
Ví dụ 2. Phương trình \[{{2}^{\sin {{\left( x \right)}^{2}}}}-{{2}^{\cos {{\left( x \right)}^{2}}}}=2018\cos 2x\] có bao nhiêu nghiệm thuộc \[\left[ 0;2\pi \right]\] ?
A. \[x=3\] B. \[x=1\] C.\[x=0\] D.\[x=4\]
Giải. Ta có:
\[{{2}^{{{\sin }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=2018\cos 2x\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+2018{{\sin }^{2}}x={{2}^{{{\cos }^{2}}x}}+2018{{\cos }^{2}}x\]
Xét hàm \[y={{2}^{t}}+2018t\] là hàm đồng biến trên trên R
→ \[{{\cos }^{2}}x={{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\]
.png)
B. Bài tập tự luyện
\[\] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
