Phương trình hàm số mũ

A. Lý thuyết

    I. Phương trình mũ cơ bản

- Với \[00\] , ta có ${{a}^{f\left( x \right)}}=b\Leftrightarrow f\left( \text{x} \right)={{\log }_{a}}b$

- Với \[0⟺ phương trình vô nghiệm

    II. Một số phương pháp giải phương trình mũ cơ bản

        1.Phương pháp đưa về cùng cơ số

Cơ sở:  Với \[0

${{a}^{f\left( x \right)}}=b$${{a}^{f\left( x \right)}}={{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$

    Ví dụ 1. Giải phương trình:

${{81}^{3x+2}}={{27}^{6x-3}}$

       A. $x=\frac{17}{3}$                  B. $x=3$                   C.$x=\frac{17}{6}$                    D.$x=4$

    Giải. Ta có:  

   

 

 

 

Ví dụ 2. Giải phương trình:

${{4}^{x}}-{{3}^{x-0,5}}={{3}^{x+0,5}}-{{2}^{2x-1}}$

        A. $x=\frac{3}{2}$                  B. $x=1$                   C.$x=\frac{1}{2}$                    D.$x=2$

    Giải. Ta có:

        2. Phương pháp đặt ẩn phụ$$

    Ví dụ 1. Giải phương trình:

${{3}^{2x+5}}={{3}^{x+2}}+2$

        A. $x=\frac{3}{2}$                  B. $x=0$                   C.$x=\frac{1}{2}$                    D.$x=1$

    Giải. Ta có:

    Ví dụ 2. Giải phương trình:

${{5.2}^{4x+2}}-{{2}^{2x+3}}={{3}^{2x+1}}$

        A. $x=-\frac{1}{2}$                  B. $x=-1$                 C.$x=\frac{1}{2}$                  D.$x=1$

    Giải. Ta có:

        3. Phương pháp Logarit hóa

Cơ sở: Với \[00\]

    Ví dụ. Giải phương trình:

${{2}^{x-1}}={{3}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}$

A. $x\in \left\{ 1+{{\log }_{3}}2 \right\}$                                     B. $x\in \left\{ 1+{{\log }_{3}}2;1 \right\}$

C.$x\in \left\{ 1+{{\log }_{2}}3 \right\}$                                      D.$x\in \left\{ 1+{{\log }_{2}}3;1 \right\}$

    Giải. Ta có:

        4.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cơ sở 1:  Nếu $y=f\left( x \right)$ là hàm số đơn điệu trên I$\to$$f(x)=k$ có tối đa 1 nghiệm trên I

Ví dụ trong trường hợp $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên I có nhận xét:

Với $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)=f({{x}_{0}})=k\Rightarrow x={{x}_{0}}$ là nghiệm của $f(x)=k$

Với $x>{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)>f({{x}_{0}})=k\Rightarrow$ $f(x)=k$ vô nghiệm

Với \[x<{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(x)

Vậy $x={{x}_{0}}$ là nghiệm của $f(x)=k$

Cơ sở 2:  Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên I, hàm số $y=g\left( x \right)$    nghịch biến trên I hoặc là hàm hằng→$f(x)=g\left( x \right)$ có tối đa 1 nghiệm trên I

Cơ sở 3:  Nếu $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên I và $u,v\in I$ thì →$f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$

 

    Ví dụ 1. Số nghiệm thực của phương trình là:

${{5}^{x}}-{{4}^{\text{x}}}=1$

        A. $x=3$                  B. $x=0$                   C.$x=2$                    D.$x=1$

    Giải. Ta có:

 

Xét  $y=\frac{1}{{{5}^{x}}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}$ là hàm số nghịch biến và y=1 là hàm hằng

→ Phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm

Ta thấy x=1 là nghiệm của (1) → x=1 là nghiệm duy nhất của (1)→D

    Ví dụ 2. Phương trình ${{2}^{\sin {{\left( x \right)}^{2}}}}-{{2}^{\cos {{\left( x \right)}^{2}}}}=2018\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $\left[ 0;2\pi  \right]$ ?

        A. $x=3$                  B. $x=1$                   C.$x=0$                    D.$x=4$

    Giải. Ta có:

 ${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=2018\cos 2x\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+2018{{\sin }^{2}}x={{2}^{{{\cos }^{2}}x}}+2018{{\cos }^{2}}x$

Xét hàm $y={{2}^{t}}+2018t$ là hàm đồng biến trên trên R

→ ${{\cos }^{2}}x={{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

B. Bài tập tự luyện

Câu 1 : Nghiệm của phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}=3.{{x}^{2}}$ là: A. x = 1 hoặc x=-1 B. Đáp án khác C. x = 2 hoặc x = -3 D x = 0 hoặc x = -1 Câu 2 : Số nghiệm của phương trình${{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}}=15$ là A. 3 B. 1 C. 2 D 0   Câu 3 : Phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{2}^{2+x-{{x}^{2}}}}=3$có tổng các nghiệm bằng: A. 1 B. 0 C. -2 D -1   Câu 4 : Phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0$ có tích các nghiệm là: A. -1 B. 2 C. 0 D 1   Câu 5 : Số nghiệm của phương trình ${{2}^{2{{x}^{2}}-7x+5}}=1$ là: A. 0 B. 1 C. 2 D 3   Câu 6 : Số nghiệm của phương trình${{3}^{x}}-{{3}^{1-x}}=2$ A. 1 B. Vô nghiệm C. 2 D 3   Câu 7 : Tìm m để phương trình $\log _{3}^{2}x-(m+2).{{\log }_{3}}x+3m-1=0$ có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 = 27. A. m = $\frac{28}{3}$ B. m = $\frac{4}{3}$ C. m = 25 D m = 1   Câu 8 : Phương trình ${{9}^{x}}-{{3.3}^{x}}+2=0$có hai nghiệm${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\,(\,{{x}_{1}}<\,{{x}_{2}})$. Giá trị A=$2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}$ là A. 1 B. $3{{\log }_{3}}2$ C. $4{{\log }_{3}}2$ D Đáp số khác   Câu 9 : Phương trình${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-3x}}-{{2.4}^{x}}-3.{{(\sqrt{2})}^{2x}}=0$ A. ${{\log }_{2}}3$ B. -1 C. ${{\log }_{2}}5$ D 0   Câu 10  Phương trình ${{9}^{x+1}}-{{6}^{x+1}}={{3.4}^{x}}$có bao nhiêu nghiệm: A. 4 B. 2 C. 3 D 1                           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A A C A B B A D                                                          $$

Bài viết gợi ý: