Chuyên Đề: Lũy Thừa- Hàm Số Lũy Thừa

CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA- HÀM SỐ LŨY THỪA

A.    Lũy thừa:

I.                   Lý thuyết:

1.      Lũy thừa với số mũ nguyên:

a)     Định nghĩa:

·        Lũy thừa với số mũ nguyên dương, cho $a\in R,n\in {{N}^{*}}$, khi đó:${{a}^{n}}=a.a.a......a$ ( tích n thừa số a)

·        Lũy thừa với số mũ nguyên âm:${{a}^{0}}=1;{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$    ($\forall a\ne 0$)

·        ${{0}^{0}},{{0}^{n}}$ không có nghĩa.

b)     Tính chất:

·        Về đẳng thức: Cho $a>0;m,n\in R$. Khi đó ta có:

$1.{{a}^{m}}{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$                 ;               $2.\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$             ;               $3.{{({{a}^{m}})}^{n}}={{({{a}^{n}})}^{m}}={{a}^{m.n}}$   

         $4.{{(a.b)}^{n}}={{a}^{n}}.{{b}^{n}}$           ;              $5.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$      

·        Về bất đẳng thức:

Cho m,n là các số nguyên dương ta có:

-          Với $a>1$thì ${{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m>n$

-          Với \[0{{a}^{n}}\Leftrightarrow m<>

-          Với $a&gt;0$thì ${{a}^{m}}={{a}^{n}}\Leftrightarrow m=n$

Cho \[0<>

-          Với ${{a}^{m}}&lt;{{b}^{m}}\Leftrightarrow m&gt;0$

-          Với ${{a}^{m}}&gt;{{b}^{m}}\Leftrightarrow m&lt;0$

2.      Căn bậc n:

a)     .Định nghĩa:

·        Cho số thực b và số nguyên dương n,sô a được gọi là căn bậc n của b nếu ${{a}^{n}}=b$

·        Với n lẻ và , có duy nhất 1 căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$

·        Với n chẵn:

-          $b&lt;0$: không tồn tại căn bậc n của b

-          $b=0:\sqrt[n]{b}=0$

-          $b&gt;0$: có 2 căn trái dấu kí hiệu giá trị dương là$\sqrt[n]{b}$, giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$

b)     Tính chất:

Cho $a,b\in R;m,n\in Z;(m,n\ge 2)$khi đó, ta có:

$1.\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}$      ;        $2.\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$        ;       $3.\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n.m]{a}$

$4.\sqrt[n]{{{a}^{n}}}$( = a khi n lẻ; = |a| khi n chẵn)        

$5.{{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\frac{m}{n}}}(a&gt;0)$

Chú ý: nếu m,n là số chẵn thì cơ số a, b phải thỏa mãn để căn thức có nghĩa.

1.      Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a)     Định nghĩa:

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $$$m\in Z,n\in N,n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r là số ${{a}^{r}}$xác định bởi: ${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$

b)     Tính chất:

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

2.      Lũy thừa với số mũ thực:

a)     Định nghĩa:

Cho số thực dương a và $\alpha$là số vô tỉ. Khi đó tồn tại dãy số hữu tỉ $({{r}_{n}})$có giới hạn $\alpha \And {{a}^{\alpha }}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}$

b)     Tính chất:

Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

   Chú ý:

·         Luỹ thừa với số mũ nguyên dương thì cơ số bất kì.

·         Luỹ thừa với số mũ 0 hoặc nguyên âm thì cơ số khác 0.

·         Luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số dương.

II.                   Ví dụ minh họa:

Câu 1: Cho số thực $$$a\ne 0$. Với giá trị nào cùa x thì đẳng thức $\frac{1}{2}({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})=1$đúng?

A.    $x=1$                 B. $x=0$                     C. $x=a$                D. $x=\frac{1}{a}$

Giải:  ta có $\frac{1}{2}({{a}^{x}}+{{a}^{-x}})=1\Leftrightarrow {{a}^{x}}+\frac{1}{ax}=2\Leftrightarrow {{({{a}^{x}})}^{2}}-2{{a}^{x}}+1=0$

$\Leftrightarrow {{({{a}^{x}}-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$ => chọn B

Câu 2:  Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn $\sqrt[15]{{{a}^{7}}}&gt;\sqrt[5]{{{a}^{2}}}$

A.     $a=0$                B. $a&lt;0$                    C. $a&gt;1$                  D. \[0<>

Giải: ta có $\sqrt[15]{{{a}^{7}}}&gt;\sqrt[5]{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow {{a}^{\frac{7}{15}}}&gt;{{a}^{\frac{2}{5}}}\Leftrightarrow {{a}^{\frac{7}{15}}}&gt;{{a}^{\frac{6}{15}}}\to a&gt;1$ =>chọn C

Câu 3: Rút gọn biểu thức $K={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}}-{{y}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{2}}{{\left( 1-2\sqrt{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x} \right)}^{-1}}(x&gt;0,y&gt;0)$

A.   K=x                  B.   K=2x                    C. K=x+1              D. K=x-1

Giải:

ð  Chọn A

Câu 4: Rút gọn biểu thức $p=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1}}.{{a}^{2-\sqrt{3}}}}{{{({{a}^{\sqrt{2}-2}})}^{\sqrt{2}+2}}}(a&gt;0)$

A.    $P={{a}^{4}}$                           B.  $P=a$                    C.  $P={{a}^{5}}$                 D. $P={{a}^{3}}$

Giải:

$p=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1}}.{{a}^{2-\sqrt{3}}}}{{{({{a}^{\sqrt{2}-2}})}^{\sqrt{2}+2}}}=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1+(2-\sqrt{3})}}}{{{a}^{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)}}}=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{-2}}}={{a}^{3-(-2)}}={{a}^{5}}$=> chọn C

Câu 5: Với giá trị nào của a thì đẳng thức$\sqrt{a\sqrt[3]{a\sqrt[4]{a}}}=\sqrt[24]{{{2}^{5}}}.\frac{1}{\sqrt{{{2}^{-1}}}}$  đúng

A.    a=2                         B.  a=-2                      C.  a=3                 D. a=-3

Giải:

ð  Chọn A

III.               Bài tập luyện tập:

Câu 1: Rút gọn biểu thức $Q=b\frac{5}{3}:\sqrt[3]{b}(b&gt;0)$

A.    $Q={{b}^{2}}$                         B. $Q={{b}^{-\frac{4}{3}}}$      

C.    $Q={{b}^{-2}}$                        D. $Q={{b}^{\frac{4}{3}}}$

Câu 2: Cho biểu thức $P=\sqrt[3]{{{x}^{2}}\sqrt{x\sqrt[5]{{{x}^{3}}}}}(x&gt;0)$. Mệnh đề nào dưới đây là $$mệnh đề đúng

A.    $P={{x}^{\frac{14}{15}}}$                              B. $P={{x}^{4}}$       

 C.  $P={{x}^{-4}}$                                                D. $P={{x}^{-\frac{15}{14}}}$

Câu 3: Khẳng định nào sau đây sai?

A.    ${{8}^{\frac{2}{3}}}=4$               B. ${{8}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt{{{8}^{3}}}$           C. ${{8}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{64}$                  D. ${{8}^{\frac{2}{3}}}={{(\sqrt[3]{8})}^{2}}$

Câu 4: Cho x là số thực dương. Viết biểu thức$Q=\sqrt{x\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}.\sqrt[6]{x}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A.    $Q={{x}^{\frac{5}{36}}}$             B.  $Q={{x}^{\frac{2}{3}}}$              C. $Q=x$                          D. $Q={{x}^{2}}$

Câu 5: Biểu thức thu gọn của biểu thức$P=\left( \frac{{{a}^{\frac{1}{2}}}+2}{a+2{{a}^{\frac{1}{2}}}+1}-\frac{{{a}^{\frac{1}{2}}}-2}{a-1} \right).\frac{{{a}^{\frac{1}{2}}}+1}{{{a}^{\frac{1}{2}}}}\left( a&gt;0,a\ne \pm 1 \right)$có dạng $P=\frac{m}{a+n}$. Tính m-n

A.    1                     B. 3                      C. 2                         D. -3

Câu 6: Cho a, b là hai số thực dương, và biểu thức $P=\frac{\sqrt[3]{8{{a}^{3}}{{b}^{6}}}{{({{a}^{-2}}{{b}^{-3}})}^{2}}}{\sqrt[4]{{{a}^{6}}{{b}^{-12}}}}$. Rút gọn biểu thức P, ta được kết quả nào trong các kết quả sau:

A.    $P=\frac{2}{{{b}^{3}}.\sqrt{a}}$              B. $P=\frac{2}{{{a}^{4}}b\sqrt{a}}$      C. $P=\frac{2}{2b\sqrt{{{a}^{3}}}}$            D. $P=2b\sqrt{{{a}^{3}}}$

Câu 7: Cho $a&gt;1&gt;b&gt;0$. Khẳng định nào sau đây đúng:

A.     ${{a}^{2}}&lt;{{b}^{2}}$                   B. ${{a}^{-\sqrt{3}}}&lt;{{b}^{-\sqrt{3}}}$        C. ${{b}^{-2}}&gt;{{b}^{-e}}$                  D. ${{a}^{-2}}&lt;{{a}^{-3}}$

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức $K=\frac{{{2}^{3}}{{.2}^{-1}}+{{5}^{-3}}.54}{{{10}^{-3}}:{{10}^{-2}}-{{(0.25)}^{0}}}$

A.    -10                       B.  10                   C. 12                         D. 15

Câu 9: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực x, y

A.    ${{({{2}^{x}})}^{y}}={{2}^{x+y}}$              B. $\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{y}}}={{2}^{\frac{x}{y}}}$               C. ${{2}^{x}}{{.2}^{y}}={{2}^{x+y}}$              D. ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=\frac{{{2}^{x}}}{3}$

Câu 10: Với các số thực a, b bất kì. Mệnh đề sau đây là đúng

A.      ${{({{3}^{a}})}^{b}}={{3}^{a+b}}$        B. ${{({{3}^{a}})}^{b}}={{3}^{a-b}}$       C. ${{({{3}^{a}})}^{b}}={{3}^{ab}}$                  D. ${{({{3}^{a}})}^{b}}={{3}^{{{a}^{b}}}}$

Đáp án:

A.    Hàm số lũy thừa

I.                   Lý thuyết:

1.      Định nghĩa:

Là hàm số có dạng $y={{x}^{\alpha }}$ với $\alpha \in R$

2.      Tập xác định:

·        $D=R$với $\alpha$ nguyên dương

·        $D=R\backslash \left\{ 0 \right\}$với $\alpha$nguyên âm hoặc bằng 0

·        $D=\left( 0;+\infty  \right)$với $\alpha$không nguyên

3.      Đạo hàm:

Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$( $\alpha \in R$) có đạo hàm với mọi x>0

1.      Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$:

·        Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)

·        Khi $\alpha &gt;0$hàm số luôn đồng biến, khi $\alpha &lt;0$hàm số luôn nghịch biến

·        Khi $\alpha &gt;0$thì đồ thị hàm số không có tiệm cận

·        Khi $\alpha &lt;0$thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy

II.                   Ví dụ minh họa:

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số $y={{({{x}^{3}}-27)}^{\frac{\pi }{2}}}$

A. $D=R\backslash \left\{ 2 \right\}$                B.  $D=R$               

Giải:

Lũy thừa với cố mũ không nguyên thì cơ số dương

$\to y={{({{x}^{3}}-27)}^{\frac{\pi }{2}}}$ xác định khi ${{x}^{3}}-27&gt;0\Leftrightarrow x&gt;3$=> Chọn D

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số $y={{({{x}^{2}}-x-2)}^{-3}}$

A. $D=R$                           B. $D=R\backslash \left\{ -1;2 \right\}$     

Giải:

Lũy thừa với số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

Hàm số đã cho xác định khi 

=> Chọn B

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số ${{\left[ {{x}^{2}}(x+1) \right]}^{\sqrt{\pi }}}$

A. $D=(0;+\infty )$       B. $D=(-1;+\infty )\backslash \left\{ 0 \right\}$     C. $D=(-\infty ;+\infty )$       D. $D=(-1;+\infty )$

Giải:

Hàm số xác định khi 

=> Chọn B

Câu 4: Hàm số $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x}}$ có đạo hàm là

A.   ${{2}^{2{{x}^{2}}+x}}\ln 2$                                B. $(4x+1){{2}^{2{{x}^{2}}+x}}ln2$    

 C. $(2{{x}^{2}}+x){{2}^{2{{x}^{2}}+x}}ln2$                    D. $(4x+1){{2}^{2{{x}^{2}}+x}}ln2(2{{x}^{2}}+x)$

Giải: $y&#x27;=({{2}^{2{{x}^{2}}+x}})&#x27;={{2}^{2x2+x}}.\ln 2.(2{{x}^{2}}+x)&#x27;=(4x+1){{2}^{2{{x}^{2}}+x}}.ln2$=> Chọn B

Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y=2x+{{1}^{-\frac{1}{3}}}$ trên tập xác định là

A. $2{{(2x+1)}^{-\frac{1}{3}}}\ln (2x+1)$                          B.  ${{(2x+1)}^{-\frac{1}{3}}}\ln (2x+1)$ 

C.  $\frac{-2}{3}{{(2x+1)}^{-\frac{4}{3}}}$                                      D. $\frac{-1}{3}{{(2x+1)}^{-\frac{4}{3}}}$

Giải:

$y&#x27;=\left[ {{\left( 2x+1 \right)}^{-\frac{1}{3}}} \right]=-\frac{1}{3}(2x+1)&#x27;{{(2x+1)}^{-\frac{1}{3}-1}}=-\frac{2}{3}{{(2x+1)}^{-\frac{4}{3}}}$=> Chọn C

III.               Bài tập luyện tập:

Câu 1: Tìm tập xác định hàm số $y={{(4{{x}^{2}}-1)}^{-4}}$

A.   $R\backslash \left\{ \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right\}$              B. $\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right)$                C. $R$                  D. $(0;+\infty )$

Câu 2:  : Tìm tập xác định hàm số $y={{(x+2)}^{\frac{\sqrt{2}}{3}}}$

A.   $R\backslash \left\{ 2 \right\}$                    B. $(-2;+\infty )$                C. $(0;+\infty )$          D. $R$

Câu 3:  Tìm tập xác định hàm số $y={{({{x}^{2}}-x)}^{-6cos\frac{\pi }{4}}}$

A. $R$                     B. $R\backslash \left\{ 0;1 \right\}$                C. $(0;1)$              D. $(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$

Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm số $y={{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{e}{2}}}$trên R

A.$y&#x27;=2x{{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{e}{2}-1}}$                 B. $y&#x27;=ex\sqrt{{{({{x}^{2}}+1)}^{e-2}}}$ 

C. $y&#x27;=\frac{e}{2}{{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{e}{2}-1}}$                      D. $y&#x27;={{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{e}{2}}}\ln ({{x}^{2}}+1)$

Câu 5: Hàm số $y={{(4{{x}^{2}}-1)}^{-4}}$ có tập xác định là

A. $\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right)$                        B. R                    C. $R\backslash \left\{ \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right\}$            D.$(0;+\infty )$

Câu 6: Hàm số $y=\sqrt[5]{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}$ có đạo hàm là

A. $y&#x27;=\frac{4}{\sqrt[5]{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}}$                                           B. $y&#x27;=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

C. $y&#x27;=4x\sqrt[5]{{{x}^{2}}+1}$                                 D. $y&#x27;=\frac{4x}{5\sqrt[5]{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}$

Câu 7: Tập xác định của hàm số $y={{(2-3x)}^{\sqrt{5}}}$

A. $D=R\backslash \left\{ \frac{2}{3} \right\}$              B. $D=\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right)$            C. $D=\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right]$       D. $D=\left( \frac{2}{3};+\infty  \right)$

Câu 8: Cho các hàm số ${{f}_{1}}(x)=\sqrt{x},{{f}_{2}}(x)=\sqrt[4]{x},{{f}_{3}}(x)={{x}^{\frac{1}{3}}},{{f}_{4}}(x)={{x}^{\frac{1}{2}}}$. Trong các hàm số trên, hàm số nào có tập xác định là nửa khoảng$\left[ 0;+\infty  \right)$

A.${{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x)$        B. ${{f}_{2}}(x),{{f}_{3}}(x)$         C. ${{f}_{3}}(x),{{f}_{4}}(x)$         D. ${{f}_{2}}(x),{{f}_{3}}(x),{{f}_{4}}(x)$

Câu 9: Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{{{2}^{x}}}$

A.   $y&#x27;={{2}^{-x}}.\ln 2$           B.  $y&#x27;=\frac{-1}{{{2}^{x}}}$         C.  $y&#x27;=-\frac{\ln 2}{{{2}^{x}}}$          D. $y&#x27;=-\frac{1}{{{({{2}^{x}})}^{2}}}$

Câu 10: Hàm số $y={{(4-{{x}^{2}})}^{\frac{3}{5}}}$có tập xác định là

A.    R                  B. $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$             C. $(-2;2)$            D. $R\backslash \left\{ \pm 2 \right\}$

Đáp án:

                                 CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT ^^

Bài viết gợi ý: